複素数の関係する軌跡と領域の問題（大学受験）

質問

現在、「複素数と方程式」の分野を勉強していますが、わからない問題があります。これは、大学受験用参考書に載っている問題です。どなたか、おわかりになる方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
複素数α、βが、│α│＝│β│＝１、β/αの偏角は120度を満たす定角であるとき、
0＜=（γ-α）/(β-α)<=1を満たす複素数γは複素数平面上のどのような図形上にあるか
です。

分からないのは、解説の
条件0＜=（γ-α）/(β-α)<=1から、（γ-α）/(β-α)は実数である
と書かれている点です。

0＜=（γ-α）/(β-α)<=1は必ずしも（γ-α）/(β-α)が実数であることを示すのでしょうか。例えば、（γ-α）/(β-α)=０＋５iであることは考えられないのでしょうか。これは、0＜=０＋５i<=1を満たしていると思うのですが。

また、他にわかりやすい解法があれば教えていただきたいと思います。

私の勉強不足なのですが、質問する人がいないため、困っています。
どなたか、ご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また、説明不足の点があれば、補足させていただきますので、宜しくお願いいたします。

回答No.2

springside · ベストアンサー

No.1のprotoさんから解答がありますが、ちょっと詳しめに書きます。

>>（γ-α）/(β-α)=０＋５iであることは考えられないのでしょうか。これは、0＜=０＋５i<=1を満たしていると思うのですが。

考えられません。もちろん、0≦0+5i≦1などという式はそもそもあり得ません。

虚数の世界（虚数vs虚数、虚数vs実数）では、大小関係（大小比較）はあり得ないのです。

理由：
虚数単位iと実数0の大小比較を考える。
(1) i>0と仮定する。両辺にiを掛けると、-1>0となり、矛盾。
(2) i=0と仮定する。両辺にiを掛けると、-1=0となり、矛盾。
(3) i<0と仮定する。両辺にiを掛けると、-1>0（iは負の数と仮定しているから、不等号の向きが変わることに注意）となり、矛盾。

以上により、iと0との大小比較は不可能である。

このような非常に単純なことすらできないわけで（「虚数と実数の大小比較は可能である」という命題には反例があって「偽」である、と考えるとわかりやすいかも。）、虚数単位iを使っている数字と実数の大小比較は不可能。

つまり、大小比較をしているということは、自動的に、実数ということになります。

お礼

springside様、いつも御回答いただきありがとうございます。書いていただいた証明を自分でもやってみましたが、やはり矛盾しますね。自分で証明をやったので、理由づけて覚えることができました。ありがとうございました。

大小比較をしているということは、自動的に実数ですね。大変勉強になりました。本当にいつもありがとうございます。

回答No.1

proto

複素数と実数、複素数どうしの大小を比べることはできません
0<|2+3i|=√13
という不等式には意味がありますが
0<2+3i
2+3i>1+i
という不等式には意味がありません

0≦x≦1
は数直線上で0と1の間の数を考えるので
xは実数以外では意味を持ちません

問題の解き方には触れていませんが
重要な内容なので理解した方がいいでしょう

お礼

proto様、さっそく御回答いただきありがとうございます。複素数と実数や複素数どうしの大小を比べることはできないのですね。なので、実数の間にあるものは実数であるということですね。私自身も比べるとしたら、どうして比べるのか、とも思ったのですが、確信がもてずに質問させていただきました。

ありがとうございました。