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変動加重化で転がるボール

2016/10/16 13:16

お世話になります、質問させてください。変動荷重下ではどの様な坂が最も早く転がり抜けますか? と、いうのも先日質量変動のない均一な球体はサイクロイド曲線の坂で最も早く走り抜けると、聞きました。で、では何かが流出して、質量が減る等、加重変動がある場合はどうなのか気になったのです。尚、仮に今回は質量変動が -aχ+bで、減少すると、します。お手数ですが、中高数学レベルの知識で判るようお教え頂ければ幸いです。

Nouble
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物理学
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ddtddtddt
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2016/10/22 12:02 回答No.3

　#1です。以下の説明は中高レベルではありません。また、質量変動しない場合です（普通の最速降下線：サイクロイド）。　目的の曲線をy＝g(x)で表すとして、このg(x)は、x＝0～b，y＝0～y0の範囲にあるとします（添付図の左上のグラフ）。速度は「距離／速さ」です。曲線y＝g(x)上の微小距離dsを走り切る間、物体mの走行速度vは一定と考えて良いので「距離／速さ」はそのまま使えて、dsを走るのにかかる時間は、ds/vです。　このds/vを、曲線y＝g(x)上の全てで集めて足してやれば、物体mが曲線上でx＝0～b（y＝0～y0）を走り切る時間になります。それが最初の、T＝∫ds/vの式の意味です（積分区間はx＝0～b）。　しかしT＝∫ds/vと書いただけでは、dsもvも積分パラメータであるxと関連付けられていないので、このままでは何もできません。そこでy＝g(x)とエネルギー保存則を使います。（添付図の左上のグラフ）y＝g(x)の微小距離dsを取り出すと、絵に描いたように、ds＝√(dx^2＋dy^2)です。dx^2を√の外に出すと、　　ds＝√(1＋(dy/dx)^2)×dx になりますが、dy/dxってg’(x)の事だよねってのが、添付図のds＝の式です。　一方、一様重力場中のエネルギー保存則は、　　1/2×mv^2＋mgy＝mgy0 です。mは物体の質量を表し、gは重力加速度、y0は物体がy＝y0から落ち出すという条件です。上記をv＝に直すと、　　v＝√(2g(y0－y)) になりますが、y＝g(x)だったよねってのが、添付図のv＝の式です。添付図のds＝の式とv＝の式を、最初のT＝∫ds/vに代入すると、添付図の2番目のT＝の式です。2番目のT＝では、g(x)の具体的な形さえわかれば、Tは計算可能になっています。　g(x)の具体的な形を求めるのが、最速降下線問題です。形を決める条件は、T最小です。　そうするとベタに考えれば、添付図左下のグラフに示したように、点(0，y0)と(b，0)を通過する全ての曲線に総当たりして2番目のT＝を計算し、その中から最小のケースを選べば良いわけですが、そんな曲線は無数にあり、まぁ～無茶な注文です(^^;)。　そこで点(0，y0)と(b，0)を通過する全ての曲線を番号付けする事を考えます。ただし曲線は無数にあるので、整数では数が足りないかも知れないので、実数aで番号付けします。例えば正解のg(x)はa＝0のg(x，0)と決めておき、他の曲線はg(x，a)で表します。　この考えを2番目のT＝に適用すると、3番目のT(a)＝の式になります。ここでTはaの関数です。何故なら3番目の右辺で不定なのは（Tの変数になるのは）g(x)だけであり、他は全て固定の条件であり、g(x)の不定さは、番号パラメータaが表すからです。　目的は、T(a)を最小にする事でした。T(a)は普通の関数です。だったらaで微分して0とおきゃ良いじゃないの、という話になります。無茶な注文が、なんとか取り扱い可能な範囲に入ってきました(^^)。　ここで表現を多少一般化します。T(a)＝の右辺は一般に、f(g’，g)と書けるのはわかると思います。そうすると添付図の枠で囲った条件になります。枠の右辺のfの中のgを、g(x，a)の事だと思って多変数の微積の知識を駆使（？）すると、結局最後のdT/da⇔の右側の、一風変わった微分方程式が得られます。この変わった微分方程式を、オイラー・ラグランジュ方程式といい、変分法の基礎方程式です。　オイラー・ラグランジュ方程式を正確に扱うためには、例えばd/dxと∂/∂gの微分の意味の違いなんかもわかってる必要があります。　後は2番目のT＝の式に戻ってf(g’，g)の具体的形を与えてやり、ラグランジュ方程式を積分するだけですが、けっこう面倒です(^^;)。結果はもちろん、サイクロイドになります。　もうお気づきと思いますが、v＝の式を作った時点で物体の質量mは消えますので、最速降下線は物体の質量によりません。またy＝y0でなく、サイクロイドの途中から物体をはなしてやっても、y＝0に達する時間は同じであることも示せます（最速降下線の等時性）。　ちなみに質量がm＝-ax＋bのように走行中に変化する場合は、簡単にv＝の式を作れないので、運動方程式併用になります。

質問者

お礼 2016/10/22 17:08

有難うございます、済みません、此の場で異議を唱える此を、お許し頂けますか?

質問者

補足 2016/10/22 17:26

いや、失礼しましたやっぱり、もっと読み込んでからにします細部迄判れるか、此の点において、自信ないですが、噛み砕いた表現になるよう徹して頂けたお陰ですね式は別として、理論要点は、ざっと見た範囲では何とかなりそうとも、思えます。初等微積分の応用の応用の… ですかね？此と此… だったらこうよね… て、事ですよね重ねて申します。有難うございます。また質問させてくださいね。