円筒座標系でのベクトルの発散

質問

円筒座標系でのベクトルの発散の計算が求まりません。
単位ベクトルをer、eθ、ezとしますと
計算の途中で出てくる∂er/∂θ、∂eθ/∂θ、∂ez/∂θ等の
項が計算できないからです。
そもそも私はデカルト座標系での発散の計算ももよくわかりません。
単位ベクトルをex、ey、ezとすると
計算の途中ででてくる∂ey/∂x=∂ez/∂x=0等になるのはわかるのですが∂ex/∂x=0になる理由がわかりません。
このあたりの理由がわかれば円筒座標系での発散もわかるのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

＞そもそも私はデカルト座標系での発散の計算ももよくわかりません。
()をベクトルとし、(A)=Ax(ex)+Ay(ey)+Az(ez)とする。
　(1) div (A)=∂Ax/∂x+∂Ay/∂y+∂Az/∂z だから
たとえばAx=Ay=Az=xyzだったら
　div (A)=yz+xz+xy となる。

＞∂ex/∂x=0になる理由がわかりません。
ex,ey,ezと書かれていてもx,y,zの関数というわけではありません。すべて、一定の単位元ですから微分は０です。
今まで、座標変換をこのような意味で考えたことが無いので調べたところ
「マグロウヒル大学演習、ベクトル解析、Murray R. Spiegel著」オーム社、などのベクトル解析を参照下さい。一般的な、単純な解法が乗っています。

ただし、勉強のため調べたら、(1)から座標変換で解いてもできました。大変だけど。
まず、
(2) (ex)=(er)cosθ-(eθ)sinθ、(ey)=(er)sinθ+(eθ)cosθ です。
　(A)=Ar(er)+Aθ(eθ)+Az(ez)=Ax(ex)+Ay(ey)+Az(ez)
これから、Az(ez)は同じなので削除できて(2)を代入してベクトル成分をとると
　(3) Ax=Ar・cosθ-Aθ・sinθ、Ay=Ar・sinθ+Aθ・cosθ
となります。
　(4) ∂Ax/∂x=∂Ax/∂r・∂r/∂x+∂Ax/∂θ・∂θ/∂x
　 ∂Ay/∂y=∂Ay/∂r・∂r/∂y+∂Ay/∂θ・∂θ/∂y
ここでz成分は∂z/∂x=∂z/∂y=0となる。
　 x=r・cosθ、y=r・sinθ
から、r^2=x^2+y^2となり、これをxで偏微分して
(5) ∂r/∂x=x/r=cosθをうる（同様に∂r/∂y=y/r=sinθ）。
また、y/x=tanθからxで偏微分して
(6) ∂θ/∂x=-sinθ/r（同様に∂θ/∂y=cosθ/r）をうる。
(1)に(3)(4)(5)を代入して計算すると
　　∂Ar/∂r+Ar/r+∂Aθ/∂θ・1/r+∂Az/∂z
となります。これはまとめると
　　1/r(∂(rAr)/∂r+∂Aθ/∂θ+∂(rAz)/∂z)
となります。
ここで、くどいけど∂(rAz)/∂z=r(∂Az/∂z)となる。zに対してrは定数とおなじ（r^2=x^2+y^2から）。

お礼

レスが少なく困っていましたが
教えて下さった方法で計算すると計算ができました。
ベクトル解析の演習書でも一般的な解法を参照してみます。ありがとうございました。

回答No.1

yumisamisiidesu

単位ベクトルをer、eθ、ez
とありますが、これは円柱座標で単位ベクトルなんでしょうか(直行座標の基本ベクトルを円筒座標による座標変換をしたのではないですよね)

基本ベクトルというなら一意的ですが単位ベクトルなら一意的ではないと思います
(円筒座標なら2つに限られてくると思いますが)