すべての実数xに対して、

質問

すべての実数xに対して、
-3x²-2x+1/3＜-2x²-5x+31/12である。
これが真であるのか偽であるのかわかりません。おしえてください。

回答No.3

noname#223065 · ベストアンサー

> -3x²-2x+1/3＜-2x²-5x+31/12である。

　不等式ですね。等式だとほとんど考えずに両辺に加減乗除して計算すればいいですが、不等式だと両辺にマイナスを乗除したら不等号の向きが変わる点を注意すれば大丈夫です（加減は不等号の向きを変えない）。なお、以下では2乗を^2で書いておきます。エクセルでも使える記法です。

-3x^2-2x+1/3＜-2x^2-5x+31/12
-3x^2+3x^2-2x+1/3＜-2x^2+3x^2-5x+31/12　←両辺に3x^2を足した
-2x+1/3＜x^2-5x+31/12　←x^2について計算した
-2x+2x+1/3＜x^2-5x+2x+31/12　←両辺に2xを足した
1/3＜x^2-3x+31/12　←両辺に2xを足した
1/3-31/12＜x^2-3x+31/12-31/12　←両辺から31/12を引いた
-27/12＜x^2-3x　←数を計算した（1/3-31/12=4/12-31/12）
-9/4＜x^2-3x　←左辺を約分した
（幸い、式変形で両辺にマイナスを乗除せずに済みましたので不等号の向きが変わりませんでしたが、両辺にマイナスの数を乗除するときは注意してください。
特に「両辺にxをかけて」とするとxの正負で場合分けが必要になります。
また、0を両辺にかけると両辺が0になりますので＞や＜が成り立たなくなります。これも「両辺にxをかけて」だと、x=0の場合をうっかりしやすくなりますので要注意です。）

　ここで不等式でよく使うテクニック「実数の2乗は必ず0以上なので、変数があれば2乗の(x+a)^2の形にしてみる」を使ってみます。

　x^2-3xを見て、、もしx^2-3x+9/4なら、x^2-3x+9/4=(x-3/2)^2と変形できる、と気が付けば、x^2-3x=x^2-3x+9/4-9/4=(x-3/2)^2-9/4となることが分かると思います。これを使ってやると、以下のように式変形を続けていけます。

-9/4＜x^2-3x
-9/4＜(x-3/2)^2-9/4　←x^2-3x=(x-3/2)^2-9/4を使った
-9/4+9/4＜(x-3/2)^2-9/4+9/4　←両辺に9/4を足した
0＜(x-3/2)^2　←数を計算した

（注：-9/4＜x^2-3xを直ちに0＜x^2-3x+9/4と変形すれば、0＜(x-3/2)^2がすぱっと出ますが、式変形しても左辺が0にならない不等式もよくあるので、どんな場合でも使える手順をご紹介しています。）

　(x-3/2)^2は0以上で、x=3/2のとき0になります。ですので、0＜(x-3/2)^2はx=3/2では成り立たず、偽になります。

　0＜(x-3/2)^2は、-3x^2-2x+1/3＜-2x^2-5x+31/12を正しく式変形して得た式ですから、-3x^2-2x+1/3＜-2x^2-5x+31/12も、x=3/2で成り立たないので間違い、つまり偽です。

　一応、確かめておきましょう。

-3x^2-2x+1/3＜-2x^2-5x+31/12
-3(3/2)^2-2(3/2)+1/3＜-2(3/2)^2-5(3/2)+31/12　←x=3/2を代入
-3×9/4-2×3/2+1/3＜-2×9/4-5×3/2+31/12　←かっこを外して計算していく
-27/4-3+1/3＜-9/2-15/2+31/12　←かっこを外して計算していく
-27/4-3+1/3＜-9/2-15/2+31/12　←かっこを外して計算していく
(-27×3-3×12+1×4)/12＜(-9×6-15×6+31)/12　←両辺それぞれで通分
(-81-36+4)/12＜(-54-90+31)/12　←分子を計算していく
-113/12＜-113/12

　両辺が等しいので不等式が成立していません。設問の不等式は、確かにx=3/2で偽ということになります。
（こういう、「全てのxで～である」の不成立を証明するには、偽になるxが一つでもあることを示せればよく、不成立になる具体的なxを「反例」と呼びます。よく使われる証明法です。）

P.S.

　不等号が「＜」ではなく等しい場合を含む「≦」だったら正しい不等式でした。つまり以下のようなら真だったということです。

命題「-3x²-2x+1/3≦-2x²-5x+31/12である。」

お礼

詳しく説明して頂いてありがとうございます。

回答No.2

info222_

右辺-左辺=(-2x²-5x+31/12)-(-3x²-2x+1/3)=x²-3x+27/12=(x-3/2)²+31/12-9/4
=(x-3/2)²+1/3>0 ... これは全ての実数xに対して成立する。
故に <<真である>>。

回答No.1

shintaro-2

>これが真であるのか偽であるのかわかりません。おしえてください。

左辺を右辺に移項して、＞0の2次方程式として解いてください。
すぐにわかります。