エルミート行列以外にも固有値が実数になるか

質問

http://okwave.jp/qa/q8156118.html
に「エルミート行列の固有値は必ず実数になる」ことが証明されていました。
その内容の逆「実数の固有値をもつ行列はすべてエルミートである」は真でしょうか。
すくなくとも「エルミート行列以外にも固有値が実数になる」と言えれば、事例があれば、「エルミート行列の固有値は必ず実数になる」は真ではなく偽となるでしょう。

偽が明確になるとブラケット演算に偏りがちな量子力学に新たな発展の道が生まれると思います。複素数でシュレディンガー波動方程式の解を考えることに意義が生まれます。私はトンネル共鳴現象やエバネッセント波もそうではないかと思うのです。エバネッセント波という光子の現象がありますが、光速度が０で、あるミクロンの領域だけに明るい領域ができたり、物質に吸引や反発力を作用しています。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

偽。反例は以下です。

1 2
0 1

>すくなくとも「エルミート行列以外にも固有値が実数になる」と言えれば、事例があれば、
>「エルミート行列の固有値は必ず実数になる」は真ではなく偽となるでしょう。

なりません。逆や裏に反例を見つけても意味ありません。

お礼

反例をすぐさまいただきありがとうございます。

補足

回答からそれぞれの固有値を私なりに解いてみました。
固有方程式
det｜１-λ　a
　　　　0　1-λ｜＝（1-λ）・（1-λ）-a・0＝0
a=2の事例では
から因数分解して
(１-λ)＾２＝0
∴固有値λはλ＝1
２つめの事例でもa=1としてみれば同じ結果を得て、固有値λは1

事例の行列では固有値に実数を得たが、行列の2行1列目の要素と1行2列目の要素を比べてみれば、共役となるべき要素間の関係がa*≠0なので共役関係ではないことから事例の行列はエルミート行列ではない。と私なりに解きました。間違っているかな。

　合っているとなれば、たとえば量子的現象を観察したとき、その原因の方程式の姿がエルミート行列でない可能性もあります。するとこの事例をもって、ブラケット以外から説明できる物理現象が存在してもおかしくないと証明できたのです。
（設問書き間違い部分
　勢いづいて校正が足りませんでした。
>>すくなくとも「エルミート行列以外にも固有値が実数になる」と言えれば、事例があれば、「エルミート行列の固有値は必ず実数になる」は真ではなく偽となるでしょう<<
は、訂正して、
○すくなくとも「エルミート行列以外にも固有値が実数になる」事例があれば、「エルミート行列だけが固有値に実数がある」は真ではなく偽となるでしょう。○
として、設問全体を整合させたいとおもいます。）

回答No.1

noname#201461

(2,2)行列

1　　1
0　　1

を考えてみてください。

> 「エルミート行列の固有値は必ず実数になる」は真ではなく偽となるでしょう。

なりません。

お礼

こんなに早いお答えをいただけるとは思いませんでした。すぐさま反例をご紹介いただきありがとうございました。

補足

２行２列の対角要素のどれもが１の上三角行列(下３角が０)でエルミートではないが固有値が実数の行列を反例にいただいたので、要素数が大きくなっても、ｎ行ｎ列の対角要素どれでもが１以外の実数であっても、上三角行列ならば、固有値が実数になるとわかりました。固有値に実数を得ることのできる行列はエルミート行列に限らないと判断できました。ありがとうございました。