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Understanding the locus described by arg [(z-2)/(z+5)] = pi/4
- In this question, we are asked to find the Cartesian equation of the locus described by the argument of [(z-2)/(z+5)] being pi/4.
- To solve this, we can start by understanding the meaning of Cartesian equation, which is a coordinate system that uses x and y coordinates.
- By replacing z with x+yi, we can simplify the equation and calculate [(z-2)/(z+5)], but it is unclear how this expression relates to the overall shape of the locus.
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既にご承知のことも多く、かなり被るとは思いますが、お詫びしてご了解をお願いいたします。 > Find the Cartesian equation of the locus described by arg [(z-2)/(z+5)] = pi/4 「（複素数の）デカルト座標において、偏角が(z-2)/(z+5) = π/4で表される座標式を求めよ。」 argはtan（三角関数のタンジェント）の逆関数（arctan）で表す「偏角」と呼ばれるものです。piは円周率πですね。Cartesian equationは「デカルト座標での式」ということですので、要はy=f(x)ということです。 複素数を複素平面（複素数z=x+iyを、縦軸yが虚数、横軸xが実数として表す）の座標(x, y)で表すとします。原点(0, 0)と(x, y)を結ぶ長さr（=√(x^2+y^2)）の線分がx軸と成す角φを偏角といいます。 偏角を使うと、(x, y)はr(cosφ+sinφ)=re^(iφ)で表すことができます。こういう、原点からの距離と角度で表す方法を極座標といいます。 その偏角が、pi/4=π/4=180°/4=45°（πは180°）ということですね。(x, y)で考えると、y/x=tan(45°)=1ですから、x=yということになります（実数部と虚数部が等しい複素数）。 （↑簡潔に書けば、arg(1)=arctan(1)=45°（←tan(45°)=1）なので、y=xのグラフ上にある、ということ。） ただし、与えられているのは(z-2)/(z+5)で、通例zは複素数を表しますから(z-2)/(z+5)も複素数で、(z-2)/(z+5)の実部と虚部を等しくするようなzの座標を表せる式を求めよということだろうと思います。 つまり、「複素数(z-2)/(z+5)の実部と虚部が等しくなるようなz=x+yiを、y=f(x)の形で表せ」ということになるかと思います。
お礼
ご丁寧に教えて下さり有り難うございます。 書いて下さった内容で知らない事がいくつかありますが、ここまで説明して下さったので後は自分で調べてみます。 たくさんの情報を頂いたので助かります。 又質問させて頂くかもしれませんが宜しくお願い致します。