極値から3次関数を求める

質問

極大値(3,5)と極小値(6,7)から3次関数の式を求めることは可能でしょうか？
もしくは任意の係数・変数を与えて作ることは可能でしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>極大値(3,5)と極小値(6,7)から3次関数の式を求めることは可能でしょうか？
この表現はおかしいですね。
おかしい点
●「極大値(3,5)」は　「x=3の時極大値5」と書くべきでは？
●「極小値(6,7)」は　「x=6の時極小値7」と書くべきでは？
●　極大値5、極小値7は間違いです。極大値＞極小値となるべきですが、大小関係が逆？
　　「x=3の時極小値5、x=6の時極大値7」の間違いでは？

以上の訂正をすれば、3次曲線は以下のように求められます。

極値条件から
　y'=a(x-3)(x-6)=a(x^2-9x+18) (a<0)
積分して
　y=(a/3)x^3-(9a/2)x^2+18ax+c …(1)
極小点(3,5)を通ることから
　5=(45/2)a+c …(2)
極大点(6,7)を通ることから
　7=18a+c …(3)

(2),(3)を連立方程式として解くと　(a,c)=(-4/9,15)
(1)に代入すれば

　y=-(4/27)x^3 +2x^2 -8x +15　…(答え)

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
すみません、極大値と極小値が逆でした。
訂正ありがとうございます。
質問を待ってる間試行錯誤でほぼ同じような計算過程になりました。
極値を代入した連立方程式から計算した定数を、積分(又は微分;私は微分でやってました)した関数に代入すると無事解けるようですね。
お手を煩わせてすみませんでした。
大変参考になる答えでとても助かりました。

回答No.2

m0r1_2006

無理です．

極大値 5 < 極小値 7
なので，３次関数では無理

お礼

ご回答頂きありがとうございます。

すみません、極大値と極小値が逆でした。
これは所謂・・・・無理ですね。
神でも解くのは無理です。
頭冷やしてきます。