中学数学 円の中の三角形の角度の問題

質問

お世話になります。
円の中の三角形の角度の問題ですが、導き方がわかりません。

【問題】
図は円の中心O点を通る直線を引き、円との交点をそれぞれA、Cとし、円O上で、A、C以外の点をBとし、ABCを直線で結んだものである。角BCA=50度の時、角CABの大きさを求めなさい。

答えは【40度】とわかっているのですが、どのように解けばよいでしょうか。文章でご説明いただくのは難しいかもしれませんが、ご解説いただければと思います。よろしくお願いいたします。

回答No.4

sosdada · ベストアンサー

１．ＯＢに補助線を引く。
２．△ＯＢＣは、ＯＢとＯＣの長さが同じなので二等辺三角形。なので角ＯＣＢ＝角ＯＢＣ
３．したがって角ＢＯＣ＝１８０－５０－５０＝８０°
４．同様に△ＯＡＢも、ＯＡとＯＢの長さが同じなので、角ＯＡＢ＝角ＯＢＡ
５．３．より、角ＡＯＢ＝１８０－８０＝１００
６．角ＯＡＢ＋角ＯＢＡ＝１８０－角ＡＯＢ＝１８０－１００＝８０
７．角ＯＡＢ＝角ＯＢＡにより、角ＯＡＢ＝８０／２＝４０

回答No.6

noname#252159

図のように、2通りの考え方を説明します。
1つは、
定理「同じ弧に対する円周角の大きさは中心角の1/2である」
を用いる方法です。
2つは、
OとBとを結んだとき、△OABは二等辺三角形になること。
定理「三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和と等しい」
を用いる方法です。

お礼

＞定理「同じ弧に対する円周角の大きさは中心角の1/2である」

こんな定理があったのですね。すっかり忘れてしまっていました。なので、
「半円の弧に対する円周角は，直角である。」ということなのですね。勉強になりました！

2番の方がどちらかといえば、やさしいですね。

ありがとうございました。

回答No.5

dragon-man

試験問題のの解答としては皆さんの仰るとおりですが、前提が二つあります。
一つは、円周上にある3点、A、B、Cを頂点とする三角形において、直線ACが円の中心を通る場合、角度ABCは必ず90度であること。
もう一つは、いかなる三角形も内角の和が180度であること
このことを知っていれば180ー90-ー50＝40と小学生でも出来る易しい問題ですが、なぜこの三角形が直角三角形なのか、なぜ三角形の内角の和が180度なのか、証明するのは簡単ではありません。多分お答えの皆さんも出来ないでしょう。
数学って、面白いですね。

お礼

ご親切にありがとうございます。

会社を辞めて、失業中でこの機会にWEBの公的職業訓練を受けようかと思っているのですが、中学程度の国語と数学の試験があるようで、慌ててやり直しています。はるか昔のことなので、かなり忘れてしまっていて、「円の直径を１辺とする円に内接する三角形は直角三角形」ってそういえばあったな～と思い出しました。
それがわかれば大丈夫ですね。（ネットで証明も調べました。）

ありがとうございました。

回答No.3

noname#222520

点Bと円の中心O点を通る直線と円との交点をDとすると、
△OABはOA=OBの二等辺三角形であるから、∠OAB=∠OBA
三角形の内角の和は180°であるから、
∠AOD=∠OAB+∠OBA=∠OBA*2
同様に、∠COD=∠OBC+∠OCB=∠OBC*2
∠AOD+∠COD=(∠OBA+∠OBC)*2=180°
よって、∠OBA+∠OBC=∠ABC=180°/2=90°

∠CAB=180°-∠ABC-∠BCA=180°-90°-50°=40°

お礼

半径を利用すると二等辺三角形になって解けますね！

とてもわかりやすくて、ものすごくすっきりしました。

ありがとうございました！

回答No.2

seasarada

円の中心を通る直線ACは、
直線に対して円の中で円と触れる点Bと
三角形を描けば、
その三角形は必ず直角三角形になります
直角三角形なので、
角Bは必ず90度です
三角形は３つの角度の和が180度なので
180-角B90度=90度です
さらに90度-角C50度なのでイコール角A40度です

お礼

ありがとうございます。

＞円の中心を通る直線ACは、直線に対して円の中で円と触れる点Bと三角形を描けば、その三角形は必ず直角三角形になります

この法則を忘れておりました。現在失業中で公的職業訓練を受けようかと思っているのですが、中学数学の試験があるのではるか昔に習ったことをやり直しています。法則を思い出せました。ありがとうございました。

回答No.1

中京区 桑原町（@l4330）

角ABCは90度です
三角の内角の和は180度
これで判りますか

お礼

「円の直径を１辺とする円に内接する三角形は直角三角形」を忘れておりました。

ありがとうございました。