問題の捕らえ方を教えて下さい。（線形代数）

質問

【問題】
平面上にＯを中心とする半径aの円Cがある。
さらに、この平面上にあるＯとは異なる点Ａを通り、直線ＯＡと垂直な空間直線Lがあり、平面とのなす角は45°である。
OA間の距離をbとして、このとき円Cと直線Lとの間の最短距離をaとbをもちいて表わせ。

・・というものなのですが、
図に書いてみたカンジではこの最短距離って、結局はOAと円の交点をDとしたら、DAのことではないのでしょうか？？
でも、そんな簡単なモノではない気がして・・・（＾＾；）
この問題のきちんとした捕らえ方をおしえてください！！

回答No.4

stomachman

立体図形のイメージは、文字通りいろんな視点から、くるくる回して眺めてみるのが重要です。

●b≧a、すなわち点Aが円の外、或いは円上にある場合は、確かに直線Lと平面の交点、つまり点AがL上で円に最も近い点でしょ。
しかし、b＜a、すなわち点Aが円の内側にある場合にはどうでしょうか。
簡単な場合（特に極端な場合）について検討してみるのがポイント。

円が乗っている平面をPとしましょう。
簡単な場合として、点Aが仮に点Oと一致している(b=0)とすると、点Aから円上の任意の点までの距離はaです。また、Lを平面Pに、平面Pに対して垂直に投影した影が円と交差する場所（質問で仰るところの点D)を考えます。点Dを通り、平面Pに垂直な直線を描くと当然Lと交差する。この交点をEとすると線分DEもまた長さaです。なぜならLが平面Pと45度の角度をなしているから。
ところが、Dに最も近いL上の点はEではありません。DからLへ垂線をおろす。（Dを通りLと直交する線を引く。）その垂線の足をFとすると、つまり線分DFがDとLとの最短距離であって、その長さはa/√2である。だから最短距離になる点はAでもDでもありません。

という訳で、点Aが円内にある場合は、もうちょっと真面目に問題を解く必要があることが分かります。

●一般に。点Aが円内にある場合。直線L上で、円に最も近い点をGとしましょう。直線L上に点G'を、G'AとAGが同じ長さになるように取る(GG'はAGの２倍の長さです）と、図形の対称性からG'もまた円に最も近い点です。だからGとG'の一方だけ求めれば充分です。

●b＜aの場合、点Gに最も近い円上の点をHとします。すると、Gを中心とし、GHを半径とする球Sを考えることができます。円Cはこの球Sに外接しているはずです。さて、Gから平面Pに降ろした垂線の足をKとすると、平面Pで球Sを切った断面は円になり、その中心はK、半径はKHです。この円に、円Cは外接している。ということは、接点はひとつしかあり得ず、それは点Dです。つまりD=Hであることが分かります。

●従って、Dに最も近い点であるFこそが、Gに他ならない。G=Fなんです。

●以上から、DFの長さを求めれば良いことが分かります。

●OAを通り平面Pと垂直な平面Qを考えると、L、O、A、D、Fは全て平面Q上にありますから、簡単に作図できますね。

回答No.3

nubou

質問は「問題の捕らえ方」ですね
質問を良く読まず正しいかどうか分からない答えを出してしまいました
ためになりませんね
どうも失礼しました
ためになるように「４５°」ではなく「α」で問題を解いてみたらどうでしょう
補足にその答えを記入しても良いならば見てみます

回答No.2

nubou

円が輪だと考えると
ＯＡとのなす角θである平面上の直線と円との交点をＰとし
ＰとＬとの距離をｒとしたとき
ｒ＾２＝
（ａ・ｃｏｓ（θ）－ｂ）＾２＋（ａ・ｓｉｎ（θ）／２）＾２＋（ａ・ｓｉｎ（θ）／２）＾２＝
（ｃｏｓ（θ）－２・ｂ／ａ）＾２・ａ＾２／２＋ａ＾２／２－２・ｂ＾２

従って
ｂ≦ａ／２のときｃｏｓ（θ）＝２・ｂ／ａすなわちθ＝ａｒｃｃｏｓ（２・ｂ／ａ）で
ｒが最小値ｒ＝√（ａ＾２／２－２・ｂ＾２）をとり
ａ／２≦ｂのときｃｏｓ（θ）＝１すなわちθ＝０で
ｒが最小値｜ａ－ｂ｜をとる

従ってＣとＬとの間の最短距離は
ｂ≦ａ／２のとき√（ａ＾２／２－２・ｂ＾２）
ａ／２≦ｂのとき｜ａ－ｂ｜

回答No.1

wolv

つまり，その距離は b-a である？

b<aのときは，そうとは限りません．
例えば，b->0のとき，
最短距離は sqrt(1/2) a になります．

距離 b-a が答えかな，と思うあったときに，
距離なのに０以下はおかしい，と思えれば，
気づけるようになります．