複素数の複素数乗の考え方について

質問

z,α,β∈Cのときの考え方について悩んでます。

(i)　z^α * z^β = z^(α+β)
(ii) (z^α)^β = (z^β)^α = z^(αβ)

が成立する条件ってどう考えればいいんでしょうか？
zが無限多価関数って事を考えてもよく解からない事になります。

(i)の方は
　z^α = exp(αlogz) = exp{α(log|z| + argz)}
　z^β = exp(βlogz) = exp{β(log|z| + argz)}
　z^(α+β) = exp{(α+β)logz} = exp{(α+β)(log|z| + argz)}
から
　z ≠ 0
な気がするのですが、確証が持てません。

ご教示お願いします。

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

じっくりいきます.
まず次のように定義しています (ギリシア文字は面倒なので π 以外は全てラテン文字で):
z^a = exp [a (log |z| + i (arg z + 2kπ))], k ∈ Z.
(ii) の式は, ここでは全く出てきません.
この定義から z^a が一般には無限多価関数となることがわかるので, 他のところも無限多価関数を扱えるように拡張します:
log X = { log x | x ∈ X }
X Y = { xy | x ∈ X, y ∈ Y }
exp X = { exp x | x ∈ X }
ようするに「(無限) 多価なので集合として扱う」ってだけですが.
これだけ準備しておいて, 1^i を考えると z^a の定義から
1^i = exp i [log 1 + i (arg 1 + 2kπ)] = exp i (0 + 2kπ i) = exp -2kπ
となります.
ということで, 1^i 1^i は
1^i 1^i = (exp -2kπ) (exp -2lπ) = exp -2π(k + l)
と書けます (k, l ∈ Z). 注意してほしいのは, 2つの 1^i を計算するときに 1 の偏角として異なる値を使ってよいというところ. 一方 1^(i+i) = 1^(2i) は
1^(2i) = exp 2i [log 1 + i (arg 1 + 2kπ)] = exp 2i (0 + 2kπ i) = exp -4kπ
です. で 1^i 1^i と 1^(2i) が (集合として) 等しいかどうかというと, 前者では (k = 0, l = 1 とおくと) exp -2π という値が取れるのに対し後者では取ることができません. 従ってこの 2つは (集合として) 異なるということになります.
あと ±1 と (-1)^k の違いですが, ±1 では +1 と -1 のどちらの値を取ってもよいのに対し (-1)^k では (k の値に応じた) +1 あるいは -1 のいずれかしか取れないというところにあります.

お礼

返信ありがとうです。

＞注意してほしいのは, 2つの 1^i を計算するときに
＞1 の偏角として異なる値を使ってよいというところ.

えええ、マジですか。
言われてみればそうですが目から鱗。

んで、この問題は恒等的に成り立つかどうかではなく
どういう条件で成り立つかなので、おそらく
「αがβの有理数倍かつz≠0」
が(i)の解答になると思います。多分。

補足

と思いましたが「αとβがともに整数」ですね。

回答No.6

Tacosan

えっと....
一方が整数なら他方は任意の複素数で (i) が成り立つような気がします. まさに #2 で間違えた点がここです. #5 で「z^α z^β を計算するときに z^α と z^β で違う偏角を使うことができる」ようなことを書いたんですが, α を整数とすると z^α の計算において偏角を選ぶ意味がなくなってしまいます. つまり, 選んでも 2πi の整数倍でしか違わないので無意味になってしまいます. そのため, z^β を計算するために使った偏角を z^α の計算でも使ったとみなすことができてしまいます. これは, 結果的に z^α z^β = z^(α+β) を意味します.
また, α, β がともに有理数でかつ「その分母の最小公倍数が α+β の分母と等しい」(ただし全て既約分数で考える) 場合にも (i) は成り立つと思います.
あと, z = 0 でも 0^0 を適切に (つまり 0 か 1 のいずれかで) 定義すれば成り立ちますね.
(ii) は z, α, β を全て実数としても成り立たない例は作れるからなぁ....

お礼

z^α は z^α = e^(α*logz) で定義される（らしい）。
logzは2πの不定性を持つ多価関数であり、
z = re^iθとすると、nを任意の整数として
　logz = log|z| + i(θ + 2nπ)
となる。
ここでlogzの主値Logz = log|z| + iθ , (-π≦θ≦π)とすれば、
　logz = Logz + 2inπ
と書ける。したがって
　z^α = e^{α(Logz + 2inπ)}
同様にm , lを任意の整数として、
　z^β = e^{β(Logz + 2imπ)}
　z^(α + β) = e^{(α + β)(Logz + 2ilπ)}
と書ける。したがって
　z^α * z^β
= e^{α(Logz + 2inπ) + β(Logz + 2imπ)}
= e^{(α + β)Logz + 2iπ(αn + βm)}
であるから、z^α * z^β = z^(α + β)を満足するためには
両辺の位相差が2πの整数倍、すなわちαn + βmとl(α + β)の
差が整数でなければならない。
（exp(iθ)は周期関数であり、偏角が等しいまたは
2{x | x∈Z}πの差がないと、同じ値にはならないから。）
　(αn + βm) - l(α + β) = (n-l)α + (m-l)β
n , m , lが任意の整数であるから、α , βがともに整数となれば
常に（重要。任意の値を取るので、特定の値の時に整数に
なっても意味がない。）、
　z^α * z^β = z^(α + β)
が成り立つ。
（この場合、z = 0でも、0の実数乗となり等式は成り立つ。）
（逆に言えば、z = 0ではα , βが虚部を持っていると成り立たない？）

回答No.4

Tacosan

えっと.... もう 一度 log をとるのが簡単かなぁ....
exp (2√5iπ) の log は 2√5iπ + 2iπ k (k ∈ Z) ですが, これは 2iπ k (1/2 + √5) という形にはならないですよねって話です.
まあ α, β まで複素数の範囲で考えれば z = 1, α = β = i とおくのが簡単で, z^α z^β = exp 2πk (k ∈ Z) に対し z^(α + β) = exp 4πk (k ∈ Z).

お礼

すみません、理解できません・・。
±と(-1)^kって同じものではないのでしょうか？

あと

＞z = 1, α = β = i とおくのが簡単で,
＞z^α z^β = exp 2πk (k ∈ Z) に対し

なぜそうなるのでしょうか？
1^i * 1^i
= {e^(0+2kπ)^i}^i * {e^(0+2kπ)^i}^i
= {e^(-0-2kπ) * {e^(-0-2kπ)}
= e^(-2kπ) = e^(2nπ)　　（n=-k）
とでもやっているのでしょうか？仮定を使っちゃ意味ないような。
それとも他の方法があるのでしょうか・・。

＞z^(α + β) = exp 4πk (k ∈ Z).

m = 2k　とでもおいてしまえば良いような気が・・。

というか、どちらにしろ結果は1になります・・。
多価ではなくなってしまうので、例としては適切でないかと・・。

回答No.3

Tacosan

あ, 間違えた. 整数を使うと 2π の整数倍が角度のところに出てくるから無意味だった.
z = 1, α = 1/2, β = √5 とすると
z^α z^β = { ± exp 2√5 iπ k | k ∈ Z },
z^(α + β) = { (-1)^k exp 2√5 iπ k | k ∈ Z }
ですから, 前者の式では exp 2√5 iπ という値になりえますが後者の式では不可能です.
ん～, なんか複雑だなぁ....

お礼

変形がよくわからないのですが、式を見ると
前者でも後者でも exp 2√5 iπ になっている気がするのは
気のせいでしょうか？

回答No.2

Tacosan

z = 1 とすると log z = i 2kπ (k ∈ Z).
ここで α = 1, β = √5 とすると
z^α z^β = { exp i2π (k + l √5) | k, l ∈ Z },
z^(α+β) = { exp i2π k(1 + √5) | k ∈ Z }.
集合としては明らかに z^α z^β ≠ z^(α+β) となっているような....

回答No.1

Tacosan

無限多価関数が「等しい」というのを, どのように定義しましょうか?

補足

argz
ではなくて
i*arg(z + 2kπ) (k=0,±1,・・・)
でしたね。

「等しい」は「集合として等しい」です。
よく見たら上の解き方だと主値のみでやってるみたいでした。すみません。