パレート効率とエッジワースボックス

質問

ある書籍で偶然みかけたのですが、エッジワースボックス図の中の「P1」点が「効率的（最適）ではない」のかどうか教えてください。

図はその書籍を参考につくってみたいのですが、個人AとB、財はY財とX財が描かれいます。

S0～S2の点（●）は、パレート効率的（最適）であることはわかります。タテ線ヨコ線を引いいてみれば、Y財とX財とも無駄なく配分（取り合い）できています（例えばY財なら、YA+YB=100%）。

P0は、Aの無差別曲線上にはあっても、Bの無差別曲線とは関係がない点として描かれているので、パレート効率的（最適）ではないことは（本の説明上）わかります。

問題はP1の点（赤い●）なのですが、P1はAの無差別曲線上にもBの無差別曲線上にも存在しています。目にした書籍は経済学の本ではなく、いわゆる「試験対策本」で、このP1は『パレート最適な点では「ない」』と書かれています。

手元にあった「別の」経済の本には、「A、Bの無差別曲線上の接点」が最適点で、これ（S0～S2）を通る線を「契約曲線」としています。

P1は後者の本の説明では、先の本のP1は「無差別曲線の交点」であり、「接点ではない」という意味では、エッジワースボックス上でパレート効率的（最適）点ではないとも思えます。しかし、P1を中心にX方向とY方向に線を引いてみると、Y財とX財とも無駄なく配分（取り合い）できているように見えます。

質問：
P1は効率的（最適）な点でないのでしょうか？

ないのであれば、A者、B者がY財とX財とも無駄なく配分（取り合い）できているように見えるのに、なぜ効率的（最適）な点ではないと説明されるのでしょうか？

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

パレート効率の正確な定義を思い出しましょう。以下の２つのステップを踏むとわかりやすい。
・ある配分の方が別の配分にくらべてAとBのどちらの主体にとっても得られる効用が高いか、同じであり、かつAとBのどちらかの主体にとって前者の配分のほうから得られる効用がより高いとき、前者の配分は後者の配分に対してパレート優越的であるという。
・実行可能な配分はその配分に対して実行可能でかつパレート優越的配分が存在しないときパレート効率（最適）であるという。

実行可能な配分とはその配分がエッジワースの外部ではなく、内部にあるということを意味しています。P1で示される配分がパレート効率的でないことを示すためには、配分P1よりパレート優越的配分がエッジワースボックス内に存在することを示せばよいことになる。
（エッジワースボックス内の点で示されるすべての配分は実行可能であることに注意しておきます。）いま、P1を通る、主体AとBの無差別曲線、つまり黒と青の無差別曲線に挟まれた、レンズ状の領域に注意しましょう。このレンズ状内のどの点でもよいからその点をQと名付けましょう。P１で示される配分とQで示される配分を比較してみましょう。Q点の配分は、AにとってもBにとってもより高い効用を示していることがおわかりでしょうか？Aにとっての無差別曲線群（黒で示された無差別曲線群）は北東方向にあるほど、高い効用を示しているし、Bにとっての無差別曲線群（青で示された無差別曲線群）は南西の方向にあるほど高い効用を表わしている（なぜ？）。P１とQをくらべるなら、QはAにっとてはP1より北東方向にあり、BにとってはP1より南西方向にあるからだ。したがって、実行可能な配分Qは配分P１よりパレート優越的であり、そのような配分が存在するということは配分P１がパレート効率的ではないことを意味しているのです。
エッジワースボックスの中でパレート効率的配分は契約曲線上の点以外にはありえないのです。S0でも、S1でも、S２でも、それらの点に対してパレート優越的である点がエッジワースボックス内にあるかどうか確かめてください。二つの無差別曲線が互いに接するという条件（契約曲線の条件）が「レンズ状」の領域を空集合化していることがおわかりでしょう。

お礼

なるほど、パレート効率的な点はS点を結ぶ契約曲線にしかない、の意味が当初わからなかったのですが、P1からだとA者の無差別曲線の任意の同じ場所（A者にとって効用は同じ点）に動くと、B者にとってはそうでなくなりますね。ここに意識がいきませんでした。
どうもありがとうございました。

回答No.2

statecollege

＞NA者、B者がY財とX財とも無駄なく配分（取り合い）できているように見えるのに、なぜ効率的（最適）な点ではないと説明されるのでしょうか？

回答No1で十分説明したつもりですが、まだ納得いきませんか？そうなら、追加質問をしてください。あなたの「無駄なく配分」というのは、わたしにはP1は、「実行可能」（英語でfeasibleという)であるといっているにすぎないようにみえます。P1にかぎらず、エッジワースボックス内のどの点も、過不足なくAとBに配分されるという意味で、「実行可能」な配分なのです。問題は、P1よりベターな（P1に対して「パレート優越的な」という意味での）配分がエッジワースボックス内に存在するかどうかなのです。P1にかぎらず、「契約曲線」上にない点（配分）にたいしてはそうしたベターな配分がかならず存在する―P1にたいするQのように―のです。したがって、P1からQに配分を変更すれば、AもBも経済状態は改善するという意味で、P１を含む、契約曲線上にない点（配分）はパレート効率的ではないのです。

お礼

どうもありがとうございました。