円の方程式

質問

点(2.0)を中心とし、直線2x+y=9に接する円の方程式の求め方を教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

noname#222520

さらに別解です。

2x+y=9からy=-2x+9
点(2，0)を点A、直線y=-2x+9と直線x=2の交点(2，5)を点B、直線y=-2x+9とx軸の交点(9/2，0)を点Cとすると、直線y=-2x+9の傾きは-2であるから、
AB：BC：CA=2：√5：1
点Bから直線y=-2x+9に下した垂線の足をHとすると、直角三角形ABCと直角三角形HBAは相似であるから、
AH=AB/√5=5/√5=√5
これが、求める円の半径になるので、
円の方程式は、(x-2)^2+y^2=5

回答No.3

noname#222520

ANo.2の別解です。

2x+y=9からy=-2x+9
これから、円との接点は(a，-2a+9)とおけます。
また、この直線に垂直な直線の傾きは、1/2になります。
これらの関係をベクトルの成分を用いて表すと、次のようになります。
(2，0)+k(2，1)=(a，-2a+9)－(1)
ここで、kは定数であり、ベクトル(2，1)の傾きは1/2です。
(1)から、
2+2k=a－(2)
k=-2a+9－(3)
(2)を(3)に代入すると、
k=-2(2+2k)+9
5k=5
k=1
ベクトル(2，1)の大きさは、√(2^2+1^2)=√5
よって、円の半径rは、1*√5=√5→r^2=5

以上から、円の方程式は、(x-2)^2+y^2=5

回答No.2

noname#222520

円の方程式は、(x-2)^2+y^2=r^2（rは半径）とおけます。
2x+y=9からy=-2x+9
これを円の方程式に代入すると、
(x-2)^2+(-2x+9)^2=r^2
これを展開して整理すると、
5x^2-40x+85-r^2=0
円と直線が接することから、
D/4=20^2-5(85-r^2)=0
これから、r^2=5
よって、円の方程式は、(x-2)^2+y^2=5

回答No.1

info222_

円の半径rは、点(0,2)と直線 2x+y-9=0との距離に等しいから,
距離の公式を用いると
　r=|2*2-0-9|/√(2^2+1^2)=5/√5=√5
求める円の方程式は、中心(2,0), 半径r=√5 より
　(x-2)^2+y^2=5　... (答)
となります。