円の方程式について

質問

中心が点（1,2）で、円x^2+y^2=20に内接する円の方程式を求めよと言う問題の解き方が分かりませんおねがいします

回答No.3

noname#215361 · ベストアンサー

2つの円の接点は、原点O（0，0）と点（1，2）を通る直線上にあるので、（k，2k）と表わせる
これが、x^2+y^2=20を満たすので、
k^2+（2k）^2=5k^2=20→k=±2
このうち、円x^2+y^2=20に内接するのはk=2のときであり、接点は（2，4）
これから、求める円の半径の2乗は、（2-1）＾2+（4-2）^2=1+4=5
よって、求める円の方程式は（x-1）^2+（y-2）^2=5

回答No.2

bran111

解法1

条件を満たす円Ｃの半径をrとするとＣの方程式は

(x-1)^2+(y-2)^2=r^2 (1)

円Ｃ’

x^2+y^2=20 (2)

と接するためには(1),(2)を連立して得られる方程式が重解を持つことである。

(2)-(1)より

x+2y=(25-r^2)/2

p=(25-r^2)/2 　　(3)

とおいて

x+2y=p (4)

(3)より

x=p-2y

(2)に代入して

整理すると

5y^2-4py+p^2-20=0 (5)

個の方程式が重解を持つために判別式Ｄは

Ｄ/4＝4p^2-5(p^2-20)=0

これより

p=±√10

1)p=√10のとき

(3)よりr=√5

図を書いてみると明らかなようにこれは円Ｃが円Ｃ’に内接する。

2)p=-√10のとき

(3)よりr=3√5

図を書いてみると明らかなようにこれは円Ｃが円Ｃ’に外接する。

以上よりr=√5であって、(1)に代入して

(x-1)^2+(y-2)^2=5

解法2

条件を満たす円Ｃの中心をZ(1,2)とし，円Ｃ’：x^2+y^2=20　の中心は原点Ｏ(0,0)であり、接点をＴとすると

Ｔ，Ｚ，Ｏは一直線上にある。Ｃの半径r=TZは

TZ=C'の半径-OZ=√20-√1^2+2^2=2√5-√5=√5

円Ｃの方程式は

(x-1)^2+(y-2)^2=5

回答No.1

f272

図を描けば、求める円の半径が√20-√5と言うことがわかるでしょう。