2次方程式

質問

2次方程式4(x＾2)＋2xー１＝０の解をα,βとすると、β/α,α/βを解にもつ２次方程式がわかりません

解と係数の関係かな？
と思い考えたのですが求め方がわかりません。

教えてくれる人がいたらおねがいします。

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

>仮に、ｐ、ｑとおいたのですか？

そうです。説明のために勝手においただけです。

>x^2-px+q =0
>になぜなるのかわかりません

これは解と係数の関係そのものです。
（以下の説明でのα、βは質問分のα、βとは直接関係有りません）

「解と係数の関係」は、
2次方程式 ax^2+bx+c = 0　の２つの解をα、βとすると
α+β = -b/a, αβ= c/a
というヤツですね。
普通は、
ax^2+bx+c = 0 の解α,β　→　α+β = -b/a, αβ= c/a
の方向で使うことが多いですが、逆に
α+β = -b/a, αβ= c/a　→ α,βはax^2+bx+c = 0の解
の方向でも使えるのです。
今回は、さらにわかりやすいように a=1 としてしまいました。（aの値を勝手に決めての任意性を失いません←これはそういうものなので、ここを質問しないでね）
つまり、
α+β = -b, αβ= c　→ α,βはx^2+bx+c = 0 の解　---(#)
が使えるということ。

ここで質問に戻って、(#)でのα,βに当るのが、β/αとα/βであり、-b, cに当るのが（勝手に定義した）p,q なわけです。

-------------------------------------------
もっと、単純に考えてもいいです。
β/αとα/βを解にもつ2次方程式は
(x-β/α)(x-α/β)=0
これを展開すると
x^2 -{(β/α)+(α/β)}x+(β/α)(α/β)=0

ここで、
(β/α)+(α/β) = p
(β/α)*(α/β) = q
とすると。 x^2-px+q =0 になりますね。
こういうことです。

回答No.2

hinebot

>解と係数の関係かな？

そうですよ。着眼点は合ってます。
4(x^2)+2x-1 = 0 の解と係数の関係から
α＋β= -(2/4) = -1/2　　---(1)
αβ = (-1)/4 = -1/4 ---(2)
ですね。

β/α、α/βを解に持つ2次方程式は、解と係数の関係から
(β/α)+(α/β) = p
(β/α)*(α/β) = q
とすると、 x^2-px+q =0 になるのは分かりますか？

ここまでくれば、いかにしてpとq を求めるかです。
qの方は　q =(β/α)*(α/β) = 1 とすぐわかりますね。
あとはp です。
p=(β/α)+(α/β) =(β^2+α^2)/αβ　　　（通分しただけ）
分子は β^2+α^2 = α^2+β^2 = (α＋β）^2 -2αβ
ですから、あとは(1)(2)を代入して計算するだけ。

補足

(β/α)+(α/β) = p
(β/α)*(α/β) = q

は仮に、ｐ、ｑとおいたのですか？

x^2-px+q =0
になぜなるのかわかりません

回答No.1

himajin2005_RC4

空欄補充です

β/α,α/βを解にもつ２次方程式を
α,βを用いてあらわすと、解と係数の関係から
x^2-( 1 )x+( 2 )=0である

ヒント：( 2 )は定数

(これの両辺に0以外のどのような定数を
かけても問題ない・・・と思う)・・・・A

で
αとβは二次方程式の解なのでおそらく出せると思うので代入して計算できますが、

せっかくだから解と係数の関係を使うと
α+β=( 3 )
αβ=( 4 )
である。

よってこれを使うと

( 1 )の具体的な数値が簡単にもとまり
( 1 ) = ( 5 )
と分かる。

よって
求める方程式はAより、無限に考えられるが
そのひとつが
x^2 - ( 5 )x + ( 2 ) = 0
である。