教えて下さい、数列です。

質問

1 1 2 3 5 8 、、、Ｘn= Ｘn-1 + Ｘn-2 の一般項を、求めよ。
私は、２つの解を二分の 1±ルート5より、
Ｘn =A(二分の1+ルート5)n条 + B(二分の1-ルート5)n条
と、おき、n=1 と 2
で出しましたが、正解では、ありません。
答えはXn = ルート5分の1[ (二分の1+ルート5 ) n条 - ( 二分の 1-ルート5 )n条 ]
です。
宜しく、お願いします

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

単純に、
x_n=A{(1+√5)/2}^n+B{(1-√5)/2}^n
で
n=1又はn=2
を代入してよいと思います。
nとx_nは正の整数と限定されていますが,
A=1/√5
B=-1/√5
は無理数となります。

単純に、
x_n=A{(1+√5)/2}^n+B{(1-√5)/2}^n
で
n=1
を代入すると
x_1=A(1+√5)/2+B(1-√5)/2=1

単純に、
x_n=A{(1+√5)/2}^n+B{(1-√5)/2}^n
で
n=2
を代入すると
x_2=A(3+√5)/2+B(3-√5)/2=1

A,Bに対する連立方程式
A(1+√5)/2+B(1-√5)/2=1
A(3+√5)/2+B(3-√5)/2=1
を#1のように解くと
A=1/√5
B=-1/√5
が求まり
x_n=[{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]/√5
となります。
これに
n=3を代入すると
x_3=2
n=4を代入すると
x_4=3
n=5を代入すると
x_5=5
n=6を代入すると
x_6=8
n=7を代入すると
x_7=13
n=8を代入すると
x_8=21
n=9を代入すると
x_9=34
n=10を代入すると
x_10=55

お礼

ありがとうございます。納得です。この解き方なら、単純で、解りやすいです。ありがとうございました。又、、宜しく、お願いします。

回答No.1

jcpmutura

x_n=x_(n-1)+x_(n-2)
とすると
x_{n+1}=x_n+x_(n-1)
(x_{n+1}/x_n)(x_n/x_{n-1})=(x_n/x_{n-1})+1
lim_{n→∞}(x_{n+1}/x_n)=lim_{n→∞}(x_n/x_{n-1})=x
とすると
x^2=x+1
x=(1±√5)/2
より
x_n=A{(1+√5)/2}^n+B{(1-√5)/2}^n………(1)
とおき
n=1の時
x_1
=A{(1+√5)/2}+B{(1-√5)/2}=1………(2)
n=2の時
x_2
=A{(1+√5)/2}^2+B{(1-√5)/2}^2
=A(3+√5)/2+B(3-√5)/2=1………………(3)

(2)の両辺に(3-√5)を掛けると
A(1+√5)(3-√5)/2+B(1-√5)(3-√5)/2=3-√5
A(-2+2√5)/2+B(-2-4√5)/2=3-√5
A(√5-1)-B(1+2√5)=3-√5…………………(4)
(3)の両辺に(√5-1)を掛けると
A(3+√5)(√5-1)/2+B(√5-1)(3-√5)/2=√5-1
A(2+2√5)/2+B(2+4√5)/2=√5-1
A(1+√5)+B(1+2√5)=√5-1
これに(4)を加えると
A{(√5-1+1+√5)=2
A(2√5)=2
A=1/√5…………………(5)
これを(1)に代入すると
(1+√5)/(2√5)+B(1-√5)/2=1
1+√5+B(1-√5)√5=2√5
B(1-√5)√5=√5-1
B=-1/√5
これと(5)を(1)に代入すると
∴
x_n=[{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]/√5

補足

早速の回答、ありがとうございます。私が、思うに、単純に、Ｘn=A(二分の1+ルート5) n乗 + B ( 二分の1-ルート5) n乗 で、n=1 2を、代入すると、いけないのか？が、わからないのです。これが使えるのは、正の整数と、限定されて、いるのでしょうか。宜しく、お願いします。