2重の数列

質問

次のように2つの数列{A(ｎ)}{B(ｎ)}を定義するとき、
A(ｎ)、B(ｎ)の一般項の求め方を教えてください。

A(1)=1、B(1）＝1
A(n+1）＝２A(n)+2B(ｎ)
B(n+1)＝A(n）+2B(n）

回答No.1

Kules · ベストアンサー

２つほど解き方があります。
「1つ目」
A(n+1）＝２A(n)+2B(ｎ)
B(n+1)＝A(n）+2B(n）
上式からB(n)=の形にして、B(n+1)=を作ります。
それぞれ下式に代入すると、A(n+2)、A(n+1)、A(n)からなる隣接３項間漸化式ができるので、あとはそれを解くだけです。
あとはB(n)の式に求めたA(n)を代入すれば終了です。

「2つ目」
A(n+1)+αB(n+1)=β(A(n)+αB(n))
を満たすα、βを２組求め、それぞれ(α1、β1)、(α2、β2)とします。
A(n)+α1B(n)=C(n)
A(n)+α2B(n)=D(n)
とすると、
C(n+1)=β1C(n)
D(n+1)=β2D(n)
とできるのでC(n)、D(n)はそれぞれ等比数列なので簡単に求められます。

あとは、
A(n)+α1B(n)=(nの式)
A(n)+α2B(n)=(nの式)
となっているものからB(n)を消去すればA(n)が求まりますし、A(n)を求めればB(n)が求まります。

個人的には、2つ目のα、βが暗算で求まらなければ1つ目の方法で解くようにしています。

参考になれば幸いです。

回答No.2

ramayana

線形代数をご存知なら、行列を使うと見通しが良くなります。

A(n)とB(n)を縦に並べた2次元列ベクトルをX(n)と置きます。すると、

　　X(n+1) = MX(n)

となります。ここで、Mは、第1行が(2, 2)で、第2行が(1, 2)の2行2列行列です。

よって、

　　X(n) = M^(n+1)X(1)

となります。M^(n+1)の各成分は、Mの固有値を調べることにより、具体的な数式で表すことができます。

3重数列、4重数列等々でも、同じようなやり方で解けます。