数列の極限の問題がわかりません！！

質問

0＜a＜bである定数a,bがある。Xn=(a^n/b + b^n/a)^1/n
とおくとき
(1)不等式b^n＜a(Xn)^n＜2b^n 　を証明せよ。
(2)lim<n→∞>Xnを求めよ。

上の問題が全くわかりません！
どうか、教えてください(*_*)
計算過程など詳しく書いていただけたらとーっても嬉しいです(>_<)

よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

a(Xn)^n　を変形していけば証明できますよ。
　詳しく書いていきますね。

(1)　不等式b^n＜a(Xn)^n＜2b^n 　を証明せよ。
a(Xn)^n
=a{(a^n/b + b^n/a)^1/n}^n
=a(a^n/b+b^n/a)
=a^(n+1)/b+b^n

　ここで、0＜a＜b　ですから、a^(n+1)/b >0 です。
　　∴a(Xn)^n=a^(n+1)/b+b^n > b^n

　また、0＜a＜b　ですから、a^(n+1) < b^(n+1) です。
　　∴a(Xn)^n=a^(n+1)/b+b^n < b^(n+1)/b+b^n = 2b^(n+1)

　以上をまとめると　不等式 b^n < a(Xn)^n < 2b^n は成立するといえます。

(2)　lim<n→∞>Xnを求めよ。
　(1)で求めた不等式から挟み撃ちで求めることができます。

　b^n < a(Xn)^n < 2b^n は成立しますので
　　b^n/a < (Xn)^n < 2b^n/a
　⇔b/a^(1/n) < Xn < b/(a/2)^(1/n)　　　・・・・☆
　　（∵　n≧1）

　ここで左辺と右辺の n→∞ での極限を求めます。
　　（左辺の極限）=b/1=b　　（∵　1/n→0, a^(1/n)→1　）
　　（右辺の極限）=b/1=b　　（∵　1/n→0, (a/2)^(1/n)→1　）

　従って、式☆の両辺が同じｂに収束しますので、挟み撃ちの考え方から

　ｎ→∞　で　　b≦Xn≦b　となり
　　lim[n→∞] Xn = b
と求められます。

お礼

使う法則や計算過程など詳しく教えて下さって感謝感激です！！
大変わかりやすくて助かりました！！
本当にありがとうございました！

回答No.2

OKXavier

（１）
a(Xn)^n=a^(n+1)/b+b^n
0＜a＜b　ですから、a^(n+1)/b+b^n＞b^n
a^(n+1)＜b^(n+1)　より　0＜a^(n+1)/b＜b^n
これらから、b^n＜a^(n+1)/b+b^n＜2b^n　‥‥(1)

（２）
(1)から、b^n/a＜a^n/b+b^n/a＜2b^n/a
b(1/a)^(1/n)＜(a^n/b+b^n/a)^(1/n)＜b(2/a)^(1/n)

n→∞　とすると、b(1/a)^(1/n))=b(2/a)^(1/n)=b
ゆえに
lim[n→∞](a^n/b+b^n/a)^(1/n)＝b

>計算過程など詳しく書いていただけたらとーっても嬉しいです
十分詳しく書いたつもりですが。

お礼

回答していただいてありがとうございます！

簡潔に解法をまとめて下さって助かりました！

ありがとうございました！！