回転体の体積

質問

区間[a,b]上の関数y=f(x)のグラフをx軸の周りに回転させてできる体積を考える。
　　 b
V=∫π（f(x)）^2dx
　　 a

と書いてあったのですが、何故断面積はπ（f(x)）^2になるのでしょうか。

また、x軸の周りに回転させるのではなく、y軸の周りに回転させた場合、断面積はどうなるのでしょうか。

回答No.3

larme001 · ベストアンサー

ではもっとわかりやすく説明してみます。体積を回転方向と垂直に軸にそった方向にdxの厚みを持っている円盤をイメージしてください。（図が描けないので）。イメージとしては、ダルマ落としのだるまのようなイメージです。ただ、このだるまの厚さ（dx）はとても細かいのです。
ひとつの円盤の体積は、
表面積×厚さですよね。ここで、この表面積の円盤はx軸に対して回転させてできるので、y=f(x)が半径の円盤となります。つまり、
=（f(x)^2π）×dx
が円盤ひとつの体積です。ここで、[a,b]までの体積なので、0～1までの区間で積分します。
∫(a.b)(f(x)^2πdx=求める物体の体積
注意：この場合f(x)がx軸をまたぐ範囲の積分でないことが必要。

y軸の周りに回したときはどうでしょう？たとえばy=x^2とします。先ほどと同様に表面積×厚さはどうでしょう？
(x^2)π×dy となりますよね。たとえばx=0～1とすると、
∫（x=0,x=1)(x^2πdy) となります。
ここで、y=x~2なら、両辺を微分して　dy=2dx x=0のときy=0,x=1のときy=1だから、
∫（0,1) (x^2π×2xdx)=2π∫(0.1)(x^3dx)
を解くことになります。

わからない場合は図を描くところから始めましょう。どのように切って、厚みがどこかをきちんと整理する作業がひつようになります。

ちなみにyの場合はバームクーヘンのように切ると考えると、
∫（0,1)(皮の円周）×皮の太さ×皮の厚さ＝∫（0,1)(2πx×ydx)=2π∫(0,1)x^3dxと同じ結果になりますよね。
公式というより、きちんと理解すれば小中学校の数学（体積や表面積の公式）に忠実にといているだけなんです。

下のはとりあえず、上の解法が基本ですからまずはそちらを理解しましょう。

お礼

ありがとうございます。回答者様方のお陰で理解が深まりました。

補足

ありがとうございます。もう一度考えてみます。
では・・・

区間[0,1]　y=3x　をy軸に対して回転させた場合の体積
区間[0,1]　y=x^3　をy軸に対して回転させた場合の体積
区間[0,1]　y=4x+1　をy軸に対して回転させた場合の体積

と勝手に問題を作ってみましたが、この場合はどうなるのでしょうか。

回答No.2

BookerL

＞　何故断面積はπ（f(x)）^2になるのでしょうか

ｘ軸のまわりに回転させるとき、ｘの点でのf(x) の値が半径になった円になります。で、その面積 π×（半径）^2 が円の面積、つまり回転体の断面積です。

＞　y軸の周りに回転させた場合
y=f(x) が x=g(y) の形になれば、断面積は π(g(x))^2 となりますね。

お礼

ありがとうございます。回答者様方のお陰で理解が深まりました。

補足

今、区間[0,1]上でグラフy=x^2をx軸の周りに回転させてできる回転体の体積を求めよ。というのをやっているのですが、しっくりきません＾＾；

上記のx軸に関するものは何となくですが、わかるようになりましたが、y軸に関するものが未だ分かりません。

回答No.1

kabaokaba

> 何故断面積はπ（f(x)）^2になるのでしょうか。

断面は，半径 f(x) の円だから

>y軸の周りに回転させた場合、断面積はどうなるのでしょうか。

絵を書きましょう．y=k での断面は
k=f(x) となる x の値がどのように存在しているかで変わります．
断面は円になることもありますし，
ドーナツのようになることもありますし，
バウムクーヘンのように「多重のドーナツ」になることもあります．

お礼

ありがとうございます。回答者様方のお陰で理解が深まりました。

補足

難しいですね。
今、区間[0,1]上でグラフy=x^2をx軸の周りに回転させてできる回転体の体積を求めよ。というのをやっているのですが、しっくりきません＾＾；