指数法則(ab)^２

質問

(ab)^2について

(ab)^2＝(ab)×(ab)
ここまでは分かるのですが
(ab)×(ab)＝a×b×a×b
と（）を外すことのできる理由がわかりません
たとえば
（√３×√２）^２
＝（√３×√２）×（√３×√２）
＝√３×√２×√３×√２
のようにです

回答No.10

f272 · ベストアンサー

#3です。

(ab)^2＝(ab)×(ab)＝(a×b)×(a×b)
までは理解していると言うことですね。
もし(a×b)×(a×b)のカッコをなくしてa×b×a×bと書くと，一般的に言えばどの順番で掛け算をしていくのかが不明瞭になります。しかし
((a×b)×a)×b
(a×(b×a))×b
a×((b×a)×b)
a×(b×(a×b))
(a×b)×(a×b)
のどれも同じになることが結合法則から保証されています。
(a×b)×(a×b)のカッコを書かずにa×b×a×bと書いても，何も困ることはないのです。どこにカッコがあると考えても結果は同じなのですから。

その上，交換法則からは掛け算の順番を入れ替えてもよいことが保証されています。つまり((a×b)×a)×b=(a×(a×b))×bなどというように掛け算の前後の数を交換してよいのです。

この2つの法則を使えば，この式のように掛け算だけで構成されている式は，好きな2つを掛け合わせて簡単にしていってもよいと言うことになります。
カッコの本来の使い方は，計算の順序を指定することにありますが，このような状況の時にはカッコは何の役にも立っていません。掛け算と足し算が混ざっているときにはカッコがあるかないかで計算の結果が変わりますが，掛け算だけの場合にはカッコはどうでもよいのです。

回答No.9

tmppassenger

実数の乗算に関しては、結合律と交換律が成り立つ。

結合律
(a * b) * c = a * (b * c)
交換律
a * b = b * a

ちなみに、a * b * c * d = ((a * b) * c ) * dの事だというのはいいですか？（前から順にかける）
結合律をつかう。わかりやすくする為、e = a * b とおくと、

(a * b) * (a * b)
= e * (a * b )
= (e * a) * b [結合律をここでつかった]
= ((a * b) * a) * b

回答No.8

178-tall

>… 実数における　加法乗法においてはかっこがあっても無視できるということでしょうか？

加法だけ、あるいは、乗法だけの勘定なら、
結果は項を足して (掛けて) いく順序によりませんネ。

回答No.7

178-tall

>… 計算はどんな順番でもいいというのは　（√３×√２）×（√３×√２）でいえばどういうことなのでしょうか？
>かっこの使い方がいまいちわからない …

「かっこの使い方」
かっこの中の勘定を優先。
たとえば、
　(√3*√2)*(√3*√2) = √6*√6 = 6

結合律が成り立つ乗算なら、結果は項を掛けていく順序によらない。
たとえば、
　(√3*√2)*(√3*√2) = (√3*√3)*(√2*√2) = 3*2 = 6
とか、
　(√3*√2)*(√3*√2) = (√3*√2)*√3*√2 = (√6)*√3*√2 = 3√2*√2 = 6
とか …。

補足

ご回答ありがとうございます
高校生なので結合律という言葉を知らないのですが実数における
加法乗法においてはかっこがあっても無視できるということでしょうか？

回答No.6

info222_

(ab)×(ab)
分配法則を使って
＝((a)×(b))×((a)×(b))
括弧を外すと
=(a)×(b)×(a)×(b)
＝a×b×a×b
のようになります。

お礼

ありがとうございました！

回答No.5

tmppassenger

つまり、整数の場合は「(4 * 6) * (3 * 5) = 4 * 6 * 3 * 5 と計算してよい」ということを一応納得しているのなら、高校までの範囲では「実数のかけ算の場合も整数の時と同じようにしてよい」、と納得してもらうしかない。

というか、例えば整数（もしくは自然数）の場合でも「a * b = b * a」が一般に成り立つ事を『証明せよ』、と言われても出来無いでしょう？

補足

何度もすみません、これはもう一人の方が仰る
交換法則、結合法則との関連で成立することは言えるのでしょうか？

回答No.4

tmppassenger

> なぜ計算結果が同じになるのかが知りたい

厳密な証明は、大学にはいって
＊「体」の定義
＊実数の集合の構成法（Dedekindによる切断、あるいはCauchy完備化）
＊実数の集合が実際に体を成すことの証明
を学習しないとできません。

回答No.3

f272

掛け算は交換法則，結合法則が成り立ちますから，結論だけを言えば，どんな順番で計算しても同じです。

補足

ご回答ありがとうございます
確か貴方には前にも貴重なご回答をいただいたと思います
その節はありがとうございました
ところで、計算はどんな順番でもいいというのは
（√３×√２）×（√３×√２）でいえばどういうことなのでしょうか？
かっこの使い方がいまいちわからないのが大きな理由だと思うので、
そこについても言及していただけるとありがたいです

回答No.2

tmppassenger

つまり、例えば (1.2 * 3.4) * (5.5 * 7.8) = 1.2 * 3.4 * 5.5 * 7.8と計算して良い、というのが分からない、ということですか？

補足

つまるところ計算結果が同じだから等しいというのではなく、なぜ計算結果が同じになるのかが知りたいのです

回答No.1

tmppassenger

それは例えば (4 * 6) * (3 * 5) = 4 * 6 * 3 * 5 と計算してよい、という事の理由が分からない、ということですか？

補足

早速のご回答ありがとうございます
先程示されたよう式はすべて整数での計算なので
(4 * 6) * (3 * 5)＝２４×１５＝３６０
4 * 6 * 3 * 5＝２４×３×５＝７２×５＝３６０
というのは分かるのですが、このことが一般的に実数の範囲において成り立つというのがよくわからなくて・・