逆関数の計算について

質問

『高校数学＋α：基礎と論理の物語』（著: 宮腰忠）という書籍がPDFファイルになったもの↓

第3章 関数とグラフ
http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/ch_3.pdf

を読んでいるのですが、97ページの、

―――――――――――――――――――――――――
x = f ○ f^{-1}(x)

が成り立ちます．よって，上式の右辺は x を x に移す恒等関数 1(x) = x です：

f ○ f^{-1}(x) = 1(x)．
―――――――――――――――――――――――――

という所の意味が良く分かりません。

「恒等関数 1(x) = x」とは x を入力すると x を出力するような関数の事なのでしょうか？

それから f ○ f^{-1}(x) から 1(x) になるまでの間の式などはあるのでしょうか？

回答宜しくお願いします。

回答No.3

bran111 · ベストアンサー

#2です。

＞f ○ f^{-1}(x) = x　なので、

f ○ f^{-1}(1) = 1
f ○ f^{-1}(2) = 2
f ○ f^{-1}(3) = 3

と、入力と出力が同じになる恒等関数になるという事なのでしょうか？

その通りです。

もっと簡単な関数として

f(x)=2x

を考えると

逆関数は

g(x)=x/2

です。

g(f(x))=(2x)/2=x

となり

g○f(x)=1x

または

g○f=1

このとき

g(x)=f^(-1)(x)

と書くということです。

一般的な逆関数の求め方は

y=f(x)

に対してxとyをいれかえて

x=f(y)

とし、これをyについて解くことです。

y=2x,　y=x^2　などの逆関数を求めてみてください。

お礼

返信が遅れて申し訳ありません。

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.2

bran111

指数関数

f(x)=exp(x)

の逆関数は対数関数です。

つまり

f^(-1)(x)=log(x)

指数をとったあとこれを対数にすると

log(exp(x))=x

となります。

要するに元に戻るよというだけの話です。

＞「恒等関数 1(x) = x」とは x を入力すると x を出力するような関数の事なのでしょうか？

そうです。
y=f(x)=x

の意味です。

＞それから f ○ f^{-1}(x) から 1(x) になるまでの間の式などはあるのでしょうか？

逆関数の定義そのもので元に戻るということを直感的に理解していれば十分です。

最初に書いたようにlog(x)とexp(x)の関係を確認しながら関数ごとに逆関数を考えていくことは有意義です。

補足

回答ありがとうございます。

すみません、指数関数や対数関数はこれから勉強なので良く分からないのですが、

f ○ f^{-1}(x) = x　なので、

f ○ f^{-1}(1) = 1
f ○ f^{-1}(2) = 2
f ○ f^{-1}(3) = 3

と、入力と出力が同じになる恒等関数になるという事なのでしょうか？

回答No.1

f272

> 「恒等関数 1(x) = x」とは x を入力すると x を出力するような関数の事なのでしょうか？

...x を x に移す恒等関数...と書いてあるでしょ。この意味がわからないのか？恒等関数はxをxに移すのです。言い換えるとxを入力するとxが出力されるのです。

> それから f ○ f^{-1}(x) から 1(x) になるまでの間の式などはあるのでしょうか？

f ○ f^{-1}はxをxに移していることがわかって，恒等関数の意味がわかっていれば，f ○ f^{-1}は恒等関数1だと言うことは明らかです。

お礼

回答ありがとうございました。