積分計算です。

質問

積分計算です。
∫[0.π] xcoskxdx　+　∫[π.2π](π-(x^2/4π))coskxdx
（ｋは正の整数）
答えだけでいいのでよろしくお願いします

回答No.2

kup3kup3

こんにちは。部分積分を使います。

まず　∫[0.π] xcoskxdx　=∫[0.π] (x/k)(sinkx)'dx

=[(x/k)(sinkx)][0,π]-∫[0.π] (1/k)(sinkx)dx

　　　=0-(1/k)∫[0.π](sinkx)dx=-(1/k^2)[coskx][0.π]

　　　=-(1/k^2)[cos0-coskπ]=-(1/k^2)[1-(－1)^k] ・・・(1)

　　ここで　kは正の整数数だから　coskπ=(－1)^k　・・・(2)を使いました。

　　それは　cos2π=1,cosπ=cos3π=－1などから分かる。

　　次に　∫[π.2π](π-(x^2/4π))coskxdxのうち、

　　不定積分　∫(－(x^2/4π))coskxdx　だけやり方を示しておきます。

　∫(－(x^2/4π))coskxdx=∫(－(x^2/4πk))(sinkx)'dx

　=－(x^2/4πk)(sinkx)+∫((x^2/4πk))'(sinkx)dx

=－(x^2/4πk))(sinkx)+∫((2x/4πk))(sinkx)dx

=－(x^2/4πk))(sinkx)+1/(2πk)(∫(xsinkx)dx)

=－(x^2/4πk))(sinkx)+1/(2πk^2)∫x(-coskx)'dx

=－(x^2/4πk))(sinkx)+1/(2πk^2)[{-x(coskx)}+∫1(-coskx)dx]

=－(x^2/4πk))(sinkx)+1/(2πk^2)[{-x(coskx)}-(1/k)sinkx+C] ・・・(3)

　　　後は　sinkπ=sin(k2π)=0　を使ってやります。まかせます。

(#)　ポイント

　　　mを正の整数とするとき

∫(x^m)coskxdxや∫(x^m)sinkxdx　などは部分積分を使う。使い方は

　　　∫(x^m)coskxdx=∫(x^m){(1/k)(sinkx)}'dx　としてやります。

　　　　coskxは何を微分すると出てくるかと考えます。この場合　(1/k)(sinkx)です。

回答No.1

info22_

前に質問で回答したと思いますが、再掲します。

答えのみでいいですね。

[{(-1)^k}/(2k^2)] - (1/k^2)