逆ラプラスの計算について

質問

はじめまして。大学での課題について苦戦しています。逆ラプラス変換を、
ブロムウィッチ積分をすることで求める問題です。

(1)L^-1{(s+5)/(s^2+2s+2)}
(2)L^-1{1/(s^3-6s^2+11s-6)}

普通に部分分数分解をして変換表を使うのならわかるのですが、
ブロムウィッチ積分で…ってのがわかりません。
調べた範囲では留数計算を行うみたいなのですが、
行き詰ってしまったのでご教授願います。
面倒な問題とは思いますが、宜しくお願いします。

回答No.4

info22

#1です。
ブロムウィッチ積分を使った逆Laplace変換について
逆Laplace変換をブロムウィッチ積分を使って積分するにはJordanの補助定理を使って積分を被積分関数F(s)の特異点を全て含むような閉曲線積分路Cに直して複素積分にして積分します。そしてコーシーの積分定理を適用して特異点の周りの複素積分の和として計算します。その積分は留数定理を使って求めるのが普通です。

(1)分かりやすくするために被積分関数F(s)を部分分数展開しておきます。
F(s)=(s+5)/(s^2+2s+2)
=(1/2)/(s+1-i)+ (1/2)/(s+1+i)+(2/i)/(s+1-i)- (2/i)/(s+1+i)

ブロムウィッチの積分を利用し逆変換を求める。
f(t)=L^(-1)F(s)={1/(2πi)}∫cF(s)e^(st)ds (t>0)
ここで積分路CはJordanの補助定理により閉曲線の
F(s)の特異点を全て含む経路とする。

f(t)={1/(2πi)}∫cF(s)e^(st)ds
=(1/2)[{1/(2πi)}∫c{e^(st)/(s+1-i)ds +{1/(2πi)}∫c{e^(st)/(s+1+i)ds]
+(2/i)[{1/(2πi)}∫c{e^(st)/(s+1-i)ds -{1/(2πi)}∫c{e^(st)/(s+1+i)ds]
留数定理を適用して
=(1/2)[lim[s→-1+i] e^(st) +lim[s→-1-i] e^(st)]
+(2/i)[lim[s→-1+i] e^(st) -lim[s→-1-i] e^(st)]
=(1/2){ e^(-t+it)+e^(-t-it)}+(2/i){ e^(-t+it)-e^(-t-it)}
=e^(-t)[(1/2){e^(it)+e^(-it)}]+4e^(-t)[{1/(2i)}{e^(it)-e^(-it)}]
オイラーの公式を適用
=e^(-t)cos(t)+4e^(-t)sin(t)

(2)同様にして
F(s)=[(1/2){1/(s-1)}]-[1/(s-2)]+[(1/2){1/(s-3)}]

ブロムウィッチの積分を利用し逆変換を求める。
f(t)=L^(-1)F(s)={1/(2πi)}∫cF(s)e^(st)ds (t>0)
ここで積分路CはJordanの補助定理により閉曲線の
F(s)の特異点を全て含む経路とする。

f(t)={1/(2πi)}∫cF(s)e^(st)ds
=(1/2){1/(2πi)}∫c{e^(st)/(s-1)ds -{1/(2πi)}∫c{e^(st)/(s-2)ds
+(1/2){1/(2πi)}∫c{e^(st)/(s-3)ds
留数定理を適用して
=(1/2)lim[s→1] e^(st) -lim[s→2] e^(st)
+(1/2)lim[s→3] e^(st)
=(1/2)e^(t) -e^(2t) +(1/2)e^(3t)

回答No.3

rarara888

例えばＦ(s)を逆ラプラス変換したいとします。変換後をf(x)とするとブロムウィッチ・ワグナー積分は1/2πi∫e^(sx)F(s)ds [c-i∞,c+i∞]ですよね。
e^(sx)は不定形にならないから不定形になりうるのはF(s)のみ。よってこの積分は積分範囲が複素数平面全体なので、積分部分は留数を全部拾った和を2πiしたものになります。よって、
f(x)=1/2πi∫e^(sx)F(s)ds [c-i∞,c+i∞] =ΣRes e^(sx)F(s)
をとけば出来ます。
部分分数分解はスマートな解法ですけど、この基礎が出来た上でのスマートな解法でないと意味がない気がしますので、大変かもしれないですけど、がんばってください。

回答No.2

rabbit_cat

ラプラス逆変換の式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B
を直接積分しろってことですね。
こういう積分は、半径無限大の円弧をたして、周回積分→コーシーの積分定理→留数計算
ていうのが常道です。

Jordanの補助定理っていうのがあって、F(s)連続かつ、|s|→∞のとき|F(s)|→0なら、半径無限大の円弧にそった積分は０になるんで、（実際に計算してみても、すぐに０になることは分かると思います。）
F(s)の全ての留数をもとめればいいことになります。

回答No.1

info22

変換表をよく眺めて、どれかの変換公式が適用できるように部分分数展開して下さい。
形式的な部分分数展開でなく、ラプラス変換表の変換関数の和の形式に部分分数展開しないとだめです。
(1)
L^-1{(s+5)/(s^2+2s+2)}=e^(-t)L^-1{(s+4)/(s^2+1)}
=e^(-t)L^-1{s/(s^2+1)}+4e^(-t)L^-1{1/(s^2+1)}
後はcostとsintの変換公式を適用すれば良いですね。
e^(-t)f(t)⇔F(s+1)の公式を使っています。

(2)
L^-1{1/(s^3-6s^2+11s-6)}
=L^-1{[1/(2(s-1))]-[1/(s-2)]+[1/(2(s-3))]}
後はラプラス変換の公式を適用して下さい。