積分計算

質問

∫(x^(3/2)/(1+x^2)=∫(√x*x)/(1+x^2)
の計算をやりたいのですが、どのようにやればいいのでしょうか？？
部分積分法を用いてやろうとしてもどうどうめぐりになってしまいできません。
何かいいテクニックはありますか？？
教えてください！

回答No.1

debut · ベストアンサー

x=t^2とおくと、dx=2tdt、x^(3/2)=t^3なので
∫x^(3/2)/(1+x^2)dx
=∫2t^4/(1+t^4)dt
=2∫dt-2∫dt/(1+t^4)
ここで、1/(1+t^4)は
(√2/4){(t+√2)/(t^2+t√2+1)-(t-√2)/(t^2-t√2+1)}
と部分分数に分解できて
(t+√2)/(t^2+t√2+1)はさらに
(t+√2/2)/(t^2+t√2+1)+(√2/2)/(t^2+t√2+1)
と考えれば、この前半はlogで、後半はarctanでできるのでは
ないでしょうか。
マイナス以降の方も同様です。

お礼

返信ありがとうございます！！