ベクトルの証明問題

質問

AB≠0かつAC≠0かつABnot〃AC(ABとACは平行でない)とき
、ｓAB+ｔAC=0(ｓ、ｔは実数)ならばｓ＝0かつｔ=0が成り立つ事を示せ。
AB、AC、0の上の→は省略しました。

ちょっとどんな風に証明したらよいかわかりません。
数学がお得意の方、よろしくお願いします。

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

stripeさん、こんにちは。

＞AB≠0かつAC≠0かつABnot〃AC(ABとACは平行でない)とき
、ｓAB+ｔAC=0(ｓ、ｔは実数)ならばｓ＝0かつｔ=0が成り立つ事を示せ。

平面ABC上の点は、
sAB+tACの形で表されます。
それが０ベクトルになるということは、
感覚的に考えても、s=t=0である、というのは分かると思います。
さて、どうやって証明しましょうか・・

AB=(a1,a2)
AC=(b1,b2)
のように、成分でおいてみますね。
このとき、AB not平行AC　ですから
a1b2-a2b1≠0
となることは、いいですよね。

さて、この平面ABC上のベクトルc=(c1,c2)について
c=sAB+tAC
は、
c=s(a1,a2)+t(b1,b2)
=(sa1+tb1,sa2+tb2)
となりますから

c1=sa1+tb2
c2=sa2+tb2
と同値になりますね。

ここで、a1b2-a2b1≠0ですから
s=(c1b2-c2b1)/(a1b2-a2b1)・・・(1)
t=(a1c2-a2c1)/(a1b2-a2b1)・・・(2)
のように解けます。
このことから、平面上の任意のベクトルは

c={(c1b2-c2b1)/(a1b2-a2b1)}AB+{(a1c2-a2c1)/(a1b2-a2b1)}AC

の形で表されることは、いいですね。

ここで、c=0（０ベクトル）だとすると、
c1=c2=0ですから
(1)(2)より、s=t=0
が求められます。

このような条件が成り立つとき、
ベクトルABとACは一次独立である、といいます。
ご参考になればうれしいです。頑張ってください。

お礼

どうもありがとうございます！
成分表示して考えていくのですね。
簡単なものほど証明するのはちょっと面倒ですね(＾＾；
参考にさせていただきます
ありがとうございました。

回答No.3

tochiyuking

解法のヒントだけにしようと思いましたがわかりにくいので、なるべくコンパクトに解法を書きたいと思います。

背理法を使います。
(解)s≠0と仮定する。
ABをACで表す（この式を＊とする）。
t=0とするとAB=0で仮定に反する。よってt≠0。
このとき＊でAB//ACとなり仮定に反する。
よってs=0
このときsAB＋tAC=0より tAC=0
仮定よりAC≠0よりt=0
よってsAB＋tAC=0⇒s=0,t=0

お礼

ありがとございます。
背理法ですね～。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#5188

あ、すいません、少し間違えてました。補足です。

(t≠0とする)と、AC=-(s/t)AB

のあと、s=0のとき、AC=0となり、矛盾。

s≠0のとき、ABとACは平行でないことに矛盾。

で大丈夫です。

お礼

補足ありがとうございます～。

回答No.1

noname#5188

ほぼ、”明らか”でいいと思うのですが、
ちゃんと書くと、色々いいかたはありますが、

s,tのうち、少なくともどちらかが0でないとする
(t≠0とする)と、AC=-(s/t)AB
これは、ABとACは平行でないことに矛盾。

で大丈夫です。

お礼

どうもありがとうございます
。
背理法ですか～。
さんこうにさせていただきます。