順序集合などに詳しい方の回答お待ちしています。かなり困ってます・・・。

質問

(A_α)_α∈Λ(ラムダ)を、整列集合Λを添数集合とする集合族として、各A_αはe_αを最小元とする整列集合とする。
直積Π_[α∈Λ]A_αの元a=(a_α)_α∈Λで、Λの高々有限個の元αを除けばa_α=e_αであるようなものを考え、そのようなa全体の作るΠ_[α∈Λ]A_αの部分集合をAとする。

Aの相異なる2元a=(a_α)、a'=(a'_α)をとる。
a_α≠a'_αとなるαは有限個しか存在しないから、
β=max{α∈Λ｜a_α≠a'_α}が存在する。
このとき、
a_β<a'_βならばa<a'
a_β>a'_βならばa>a'
のように、写像a、a'の間に順序を定義する。
このようにしてAに順序を導入する。

[問]この順序についてAは整列集合となることを証明せよ。

(証)
次の補題を利用する。
[補題]
順序集合Aの元の列(a_n)_n∈Nで、a_1>a_2>a_3>・・・>a_n>・・・となるものをAにおける降鎖という。Aが全順序集合の場合、Aが整列集合⇔Aにおける降鎖は存在しない。

さて、Ａに導入した順序について、Ａが全順序集合となることは容易に示される。よって、上の補題により、A=ΠA_αに降鎖が存在しないことを示せばよい。

仮に、Aに降鎖a^(1)>a^(2)>・・・>a^(n)>・・・が存在すると仮定し、
a^(n)=(a^(n)_α)_α∈Λ
max{α|a^(n)_α≠e_α}=α_nとおく。
するとα_1≧α_2≧・・・≧α_n≧・・・である。
(実際、たとえばα_1<α_2とするとmax{α|a^(2)_α≠e_α}=α_2で、
α_1より大きなαに対してはa^(1)_α=e_αであるから
a^(1)_(α_2)＝e_(α_2)<a^(2)_(α_2)つまりa^(1)<a^(2)となり矛盾。したがってα_1≧α_2となること等により。)

しかし、{α_n|n∈N}は整列集合Λの部分集合なので整列集合であるから、補題より(α_n)は降鎖でない。したがってあるn0∈Nが存在して
α_n0=α_(n0+1)=・・・=α_(n0+n)=・・・となる。
この元をα~とおく。

すると、Aでの降鎖の存在の仮定より、
a^(n0)>a^(n0+1)>・・・>a^(n0+n)>・・・
であったが、これはAでの順序の定義より、
a^(n0)_α~>a^(n0+1)_α~>・・・>a^(n0+n)_α~>・・・
である。・・・(☆)

しかるにこれは整列集合A_α~における降鎖が存在することとなって
(補題より)A_α~が整列集合であることに矛盾。

したがってAには降鎖は存在しない。つまり、Aは整列集合である(終)

のような証明が[集合位相入門/松坂和夫]という本に書かれていました。(☆)より前は理解できるのですが、(☆)の部分だけどうしてもわかりません。

＞これはAでの順序の定義より、
＞a^(n0)_α~>a^(n0+1)_α~>・・・>a^(n0+n)_α~>・・・
＞である。
ということは、Ａでの定義から、証明中で定めたα~が
この質問文の冒頭で述べたβとなっているってことですか？
だとしてもなぜだかわかりません・・・。

本当にいくら考えてもまったくわからず困っています。
どなたか、わかる方がいらっしゃったら
回答よろしくお願いしますm(_ _)m

※記号がたくさんあって見にくいと思います。
もし、おなじテキストを持っていたら、そちら(p125)を見て貰えると助かりますが・・・。あと、証明はところどころテキストには書かれていない文章を自分で補っている箇所もあります。

回答No.2

PRFRD · ベストアンサー

No.1のコメントについて：
細かなところ（記号とか）は追っていませんが，
使うべきものを使っているように見えるので，OKだと思います．

お礼

ありがとうございます。

それにしても、この本、第1刷発行はずいぶん昔ですが、
いまだに記述に誤りがあるんですね・・・。

もう少しで、あの解答を信じるとこでした。

テキストを持っていらっしゃるということは、一度最後まで読んでいらっしゃるのでしょうか？

もしほかにもけっこう間違いがあったなら、「あった。」
という事実だけでも知りたいものですorz

回答No.1

PRFRD

テキストの証明が間違っており，
　a^(n0)_α~ > a^(n0+1)_α~ > ...
は成り立ちません．

正しい証明ですが，ちゃんと書くと長いので
アウトラインだけ示します．

最初はテキストと同じように進めます．つまり，
　a^(1) > a^(2) > ...
という降鎖があったと仮定します．このとき
　α_{1,n} = max {α|a^(n)_α≠e_α}
の右辺の集合が有限かつ空でないので左辺が定義でき，
　α_{1,1} ≧ α_{1,2} ≧ ...
という関係式が証明できます．
降鎖が存在しないことからこの列はどこかで停止して
　α_{1,n1} = α_{1,n1+1} = ...
となります．この値をβ_1とおきます．
（ここまでテキストと記号を変えただけで同じ）．

ここでテキストの間違っている式のかわりに
　a^(n1)_{β_1} ≧ a^(n1+1)_{β_1} ≧ ...
という，等号付きの関係式が証明できます．よって
　a^(m1)_{β_1} = a^(m1+1)_{β_1} = ...
となります．これを用いると
　α_{2,n} = max {α|a^(n)_α≠e_α, α<β_1}
の右辺の集合が有限かつ空でないので左辺が定義でき，
　α_{2,m1} ≧ α_{2,m1+1} ≧ ...
という関係式が証明できます．
降鎖が存在しないことからこの列はどこかで停止して
　α_{2,n2} = α_{2,n2+1} = ...
となります．この値をβ_2とおきます．

このような構成を次々と繰り返すことによって
　β_1 > β_2 > ...
という列が取れることになりますが，それは矛盾です．

補足

PRFRDさん回答ありがとうございます。
返信遅れて申し訳ありません。
だれも回答していただけないかな？と思っていたところでしたので助かります(汗

数学あまり得意ではないので、証明を考えていたらかなり遅くなってしまいました・・・。

＞ここでテキストの間違っている式のかわりに
＞　a^(n1)_{β_1} ≧ a^(n1+1)_{β_1} ≧ ...
＞という，等号付きの関係式が証明できます．
(証)
β_1=max {α|a^(n1)_α≠e_α}
　　=max {α|a^(n1+1)_α≠e_α}より
β_1は次の２パターンである。
[1]β_1=max{α|a^(n1)_α≠a^(n1+1)_α}
[2]β_1=max{α|a^(n1)_α＝a^(n1+1)_α≠e_α}
[1]の場合は、今、a^(n1) > a^(n1+1)であるから
Ａにおける順序の定義により
a^(n1)_{β_1} ＞ a^(n1+1)_{β_1}であり
[2]の場合は、a^(n1)_{β_1}=a^(n1+1)_{β_1}だから
結局、a^(n1)_{β_1} ≧ a^(n1+1)_{β_1}
その他も同様にして、a^(n1)_{β_1} ≧ a^(n1+1)_{β_1} ≧ ...
を得る。

＞α_{2,n} = max {α|a^(n)_α≠e_α, α<β_1}
＞の右辺の集合が有限かつ空でないので左辺が定義でき
(証)
すべてのn≧m1で{α|a^(n)_α≠e_α, α<β_1}が空でないことを背理法で示す。
{α|a^(n)_α≠e_α, α<β_1}＝φとなるようなnがあると仮定する(n≧m1)。

すると、∀α<β_1に対して、a^(n)_α＝e_α(n≧m1)である・・(1)
また、β_1=max {α|a^(n1)_α≠e_α}のときを考えることで、
β_1より大きいαに対して
a^(n1)_α=a^(n1+1)_α=・・・=a^(n1+n)_α=・・・であるから
∀α>β_1に対して
a^(m1)_α=a^(m1+1)_α=・・・となる・・(2)
しかも、a^(m1)_{β_1} = a^(m1+1)_{β_1} = ...・・・(3)
(1)～(3)よりn+1,n(≧m1)で
a^(n)>a^(n+1)とはならない。
これは、a^(n)が降鎖であることに矛盾。
よって{α|a^(n)_α≠e_α, α<β_1}はn≧m1において空でない。
しかも{α|a^(n)_α≠e_α, α<β_1}⊂{α|a^(n)_α≠e_α}で
{α|a^(n)_α≠e_α}は有限集合だから、{α|a^(n)_α≠e_α, α<β_1}は空でない有限集合だとわかる。

＞このような構成を次々と繰り返すことによって
＞　β_1 > β_2 > ...
＞という列が取れることになりますが，それは矛盾です

(矛盾である理由)
これは、(β_n)が降鎖であることを表わしていて、
しかもこれは整列集合Λにおける降鎖の存在を意味するから矛盾。

上に書いた2つの証明と最後の矛盾の理由はあっているでしょうか？
(記号が多いので、多少ミスがあるかもしれませんがその時は申し訳ありません)

どうしてもこれが解けないと、整列積が定義できないので、なんとか理解したいのですが・・。
添削していただけないでしょうか？
よろしくお願いしますm(_ _)m