無限和集合の吸収律の証明は?

質問

宜しくお願い致します。

集合Aについて

∞
∪A=A
i=1

という一見アタリマエのような吸収法則を証明したいのです。

∀a∈(左辺)をとると

a∈A,a∈A,…(無限に続く,,,)
とまで書けることは分かったのですが無限に続くa∈Aから
a∈A
即ち、
「a∈A,a∈A,…(無限に続く,,,)　⇒ a∈A」
とその逆
「a∈A　⇒ a∈A,a∈A,…(無限に続く,,,)」
とはどういう理由で言えるのか分かりません。
このように言える理由は何なのでしょうか?

回答No.3

take008 · ベストアンサー

x∈A→∃i∈N(x∈A) を日本語で書くと
「x∈A のとき 『x∈A となるｉが存在する』」
となりますが，これは正しいでしょう（実際，ｉは自然数なんでもよい）。

ぜんぜん関係ない式ですが
∃ｘ∈Ｎ(ｘ＞３) が正しいのはわかるが，
∃ｘ∈Ｎ(５＞３) が正しいかどうかわからない，
ということでしょうか。
(　)の中にｘがないので気持ちが悪いかもしれませんが，
これを満たすｘが存在する（任意の自然数）ので正しいです。

お礼

有り難うございます。
いろいろ考えてみました。
A:={x|C(x)}
において
C(x0):真
なら
x0∈A
ですね。今、
A:={x∈N|5>3}(5>3を満たす元の集合)
とした場合、1∈Aや2∈Aや7∈AでA=Nとなりますね。
条件にxが無くても条件として成立してますものね。

回答No.2

endlessriver

詳しくは無いのですが「公理」かもしれません。
例では、結局、（∃i∈Nかつx∈A）が真だからx∈Aが真になります。

お礼

どうもありがとうございました。おかげさまで納得できました。

回答No.1

endlessriver

考えすぎでは無いでしょうか？
∞
∪Ai
i=1
の定義に戻ればよいのでは。

お礼

有り難うございます。

∀i∈Nに対し、
A_i:=Aとおくと、

∞
∪A
i=1

　∞
=∪Ai
　i=1

={x|∃i∈N;x∈Ai} (∵∪の定義)
={x|∃i∈N;x∈A} (∵Aiの定義)
と書けると思います。
そして、これは
={x|x∈A}
となると思いますがこうなる理由は何と言えばいいのでしょうか?
(公理なのでしょうか?)