ベルヌーイの微分方程式

質問

ベルヌーイの微分方程式についてですが
y'+y=2xy^3
をu=1/y^2と置いて解いていっても答えと合いません。分かる方いましたら、教えて下さい。
答えは
y^2=1/(Ce^(2x)+2x+1)となっています。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

質問に書いてある答えは正しいようです．
計算の流れを書いておきますので参考にして下さい．

与えられたベルヌーイ形の微分方程式　y'＋y＝2xy^3　に対して，

u＝1/y^2

と置き，両辺を x で微分して整理すると，

u'＝－2yy'/y^4

u'＝－2y'/y^3

もとの微分方程式を変形して，これを入れると，

y'/y^3＋1/y^2＝2x

－(1/2)u'＋u＝2x

－u'＋2u＝4x

u'－2u＋4x＝0

となります．これは１階線形常微分方程式なので，
その一般解は次のようになります．（これは公式です．）

なお，exp(*) は指数関数で　e^(*)　のことです．

―――――――――――――――――――――
１階線形常微分方程式　 dy/dx ＋ p(x)y ＋ q(x) ＝ 0．　一般解は
y＝{exp(－∫p(x)dx)}[c－∫{q(x)・exp(∫p(x) dx)} dx]，　c は積分定数．
―――――――――――――――――――――

ここで，　p(x)＝－2,　　q(x)＝4x　なので，上の一般解を計算してゆくと，

u＝{exp(2∫dx)}[c－∫{4x・exp(∫－2 dx)} dx]

u＝{exp(2x)}[c－4∫{x・exp(－2x)} dx]

u＝{exp(2x)}[c－4∫{x・exp(－2x)}dx]

ここで，∫{x・exp(－2x)}dx　だけ計算しておくと，

∫{x・exp(－2x)}dx＝x・∫exp(－2x)dx－∫∫{exp(－2x)} dx dx
　　　　　　　　　＝(－1/2)・x・exp(－2x)－∫{(－1/2)・exp(－2x)} dx
　　　　　　　　　＝(－1/2)・x・exp(－2x)＋(1/2)∫{exp(－2x)} dx
　　　　　　　　　＝(－1/2)・x・exp(－2x)＋(1/2)(－1/2)・exp(－2x)
　　　　　　　　　＝(－1/2)・x・exp(－2x)－(1/4)・exp(－2x)
　　　　　　　　　＝(－1/2)・exp(－2x)・{x＋(1/2)}

です．これを使って，u は，

u＝{exp(2x)}[c－4{(－1/2)・exp(－2x)・{x＋(1/2)}}]

u＝{exp(2x)}[c＋2{exp(－2x)・{x＋(1/2)}}]

u＝c{exp(2x)}＋2{exp(－2x)・{x＋(1/2)}}{exp(2x)}

u＝c{exp(2x)}＋2{x＋(1/2)}

u＝c{exp(2x)}＋2x＋1

となります．この u を，u＝1/y^2　に入れると，

c{exp(2x)}＋2x＋1＝1/y^2

y^2＝1/[c{exp(2x)}＋2x＋1]

となり，質問に書いてある，

＞＞ y^2＝1/(Ce^(2x)＋2x＋1)となっています。

と一致します．

お礼

よく分かりました。
詳しい説明ありがとうございました。

回答No.1

Meowth

u=1/y^2と置いて解いていけば

お礼

回答ありがとうございました。