2/1∫e^zdzについて

質問

数学得意な方に質問です。（置換積分）
∫xe^x^2　dxの積分を解いているのですが

途中式で∫xe^z　2x/dzがいきなり2/1∫e^zdzとなるらしいのですが、なぜ2/1∫e^zdzになるのかわかりません。

詳しいかた、教えて頂ければ幸いです。

回答No.2

bran111

これは極めてトリッキーな問題で、このような変数変換がどのような場合有効かをよく確認してください。

I=∫xe^x^2dx　　　　　　　　　　　　　　（1）

y=x^2とおくと

dy=2xdx　⇒　xdx＝dy/2

I=∫xe^(x^2)dx=(1/2)∫e^ydy=(1/2)e^y+C=e^(x^2)+c

これは被積分関数がxe^x^2だからできたことがわかりますか。被積分関数がe^x^2では積分できません。一般化すれば

I=∫x^(2n+1)e^(x^2)dx=(1/2)∫y^ne^ydy　　　　（2）

これは部分積分によってｎを下げていくことによって積分できます。つまりxの奇数乗がe^(x^2)にかかっている場合は積分できるがn=0を含めて偶数乗ではできないということです。

I=∫e^(-x^2)dx

は統計学において大事な積分ですが解析解はなく、数値積分結果が数表にされています。しかしこれより複雑な

I=∫x^(2n+1)e^(-x^2)dx　　　　（3）

は（2）と同じようにして積分できます・

e^y

回答No.1

info222_

I=∫ xe^(x^2) dx
であれば、通常 x^2=zとおいて置換積分します。
2xdx=dz なので xdx=(1/2)dz
I=∫ {e^(x^2)} xdx =∫ (e^z) (1/2) dz
=(1/2) ∫ (e^z) dz　...(※)
=(1/2) e^z +C
となります。

質問の
>途中式で∫xe^z　2x/dzがいきなり2/1∫e^zdzとなるらしいのですが、なぜ2/1∫e^zdzになるのかわかりません。
の中の式は間違っていませんか？
上の積分の式の（※）の式のことではないですか？
そうであれば、上に書いた x^2=z　とおいた置換積分の計算法でよいかと思いますが
いかがですか？