なぜ答えが∫3dz+∫11/z dzになるのか？

質問

数学得意な方に質問です。

画像の(1)をz=x-2と置くとdz=dxになるからこれらを関数に代入すると(2)になり、さらに項に分けると(3)になるらしいのですが、なぜ(1)がいきなり(2)になって、さらに(3)になるのでしょうか？

わかりやすく教えて頂ければ幸いです。

回答No.2

178-tall

まず、変数変換 Z=x-2 を施し (3x+5)/(x-2) = (3z+11)/z としたたあと、
分数を和分解 (3z+11)/z = 3+(11/z) してますネ。

変数変換をせずに、
　(3x+5)/(x-2) = { 3(x-2) + 11 }/(x-2) = 3 + { 11/(x-2) }
と、いきなり和分解する手もあり…です。

両方やってみると、答案に定数差を生じますけど
微分してみれば被積分関数は一致します。
ご安心のほどを…。

回答No.1

bran111

描いてある通りです。

I=∫[(3x+5)/(x-2)]dx=∫f(x)dx

f(x)=(3x+5)/(x-2)

z=x-2とおくとx=z+2

f(x)=(3x+5)/(x-2)=[3(z+2)+5]/z=[3z+11]/z=3+11/z

dx=dz

I=∫f(x)dx=∫(3+11/z)dz=∫3dz+∫(11/z)dz=3z+11log(z)+C=3(x-2)+11log(x-2)+C