微分やΣの極限値代入について

質問

微分やΣを使った区分求積法で、
lim h=0　や　lim n=∞
と代入する場面がありますが、代入する式が（）の積の状態（展開する前の状態）で代入すれば全体の式が０になってしまうのに、一旦展開した後に代入する事でちゃんとした答えが導けるのはなぜなんでしょうか？式自体は同じもので、展開前に代入するか展開後に代入するかの違いだけなのに。メカニズムというか納得のできる仕組みを教えてください。

回答No.3

bran111 · ベストアンサー

＃２です。

極限をとるということと、単に0や∞を代入するということは根本的に異なるという、原則を理解していませんね。

lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h

具体的にf(x)=x^2とすると

lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h＝lim(h→0)[(x+h)^2-x^2]/h=lim(h→0)[2xh+h^2]/h
=lim(h→0)[2x+h}=2x
が演算として成功するのはｈ≠0が根本にあります。それを最後に0に限りなくち被けるというのがlimの操作です。最初からｈ＝0では)[f(x+h)-f(x)]/hが意味を持ちません。0で割るのは数学ではありません。
幾何学的なイメージで確認してください。円と直線が２点A,Bで交わっているとき、Aを固定してBをAに近づけていくと、最後に接線になります。AB間の距離をhだと思えばいいでしょう。

lim(n→∞)[Σ(k=1,n)k^2]/n^3=lim(n→∞)[n(n+1)(2n+1)/6]/n^3
nをどんどん大きくしていくと分子も分母も∞になる。ワーどうしよう！？と慌てふためくなというのがlimの操作の意味です。

n=1000とすると
[n(n+1)(2n+1)/6]/n^3=1001*2001/1000^2/6=1.001*2.001/6=2.003001/6
n=10000とすると
[n(n+1)(2n+1)/6]/n^3=10001*20001/10000^2/6=1.0001*2.0001/6=2.00030001/6　　　（***）
という経過をたどって1/3に近づいてくる。これをもう少し頭を使って

lim(n→∞)[n(n+1)(2n+1)/6]/n^3＝lim(n→∞)(1+1/ｎ)(2+1/n)/6=(1+0)(2+0)/6=1/3
としているのであって、これが納得できない場合は（***）のような数の挙動を自分で確かめてみるのがよいでしょう。

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。

回答No.2

bran111

具体例で質問してください。数学なのに文章で質疑応答するのは不毛だと思いませんか。

お礼

すみませんでした。

lim h=0 f(x+h)-f(x)/h
や、
lim n=∞ 1/n^3・Σ k^2 =1/n^3・n/6・(n+1)(2n+1)
などです。
この状態の式でhやnに０や∞を代入すると、分母のhやn^3の部分で全体が積で繋がってるので０になりますよね。でも、これらを展開、約分した後に代入すると正式な答えが出るという事についてです。
展開しても約分しても大元の式を変形してるだけに過ぎないのに…という事です。

回答No.1

Terios19

vhbtbhさん

お役に立てればと思って質問を開いたのですが、質問の趣旨が理解できませんでした。
できれば、ご指摘いただいた場合の例を挙げていただくか、問題文等を示していただけないでしょうか。

一般に、（ゼロに収束する関数）×（有限の値に収束する関数）の極限はゼロです。
ただし、（ゼロに収束する関数）×（無限に発散する関数）の極限は場合によって、ゼロだったり、無限だったり、振動だったりしますが、有限の値に収束する場合もあります。

お礼

lim h=0 f(x+h)-f(x)/h
や、
lim n=∞ 1/n^3・Σ k^2 =1/n^3・n/6・(n+1)(2n+1)
などです。
この状態の式でhやnに０や∞を代入すると、分母のhやn^3の部分で全体が積で繋がってるので０になりますよね。でも、これらを展開、約分した後に代入すると正式な答えが出るという事についてです。
展開しても約分しても大元の式を変形してるだけに過ぎないのに…という事です。