√の整数部分の問題

質問

「(５＋√３）/２の整数部分を求めよ」と云う問題で、、
√３の整数部分が１なので、これを与えられた式に代入して、
（５＋１）/２＝３とするのは、なぜ、誤りなのでしょうか？

ちなみに、正しい解法は、
１＜√３＜２
５＋１＜５＋√３＜５＋２
３＜（５＋√３）/２＜７/２
で、やはり、３になるようですが。

ご教示、よろしくお願い致します。

回答No.4

noname#212313 · ベストアンサー

> √３の整数部分が１なので、これを与えられた式に代入して、（５＋１）/２＝３とするのは、なぜ、誤りなのでしょうか？

　簡便な計算法としては、いいでしょうね。√3が1以上なのは分かるし、仮に√3が1.9だとして（※もちろん、1.9より小さい）、(5+1.9)/2＝3.45。まあ大丈夫だろう、とするのはよくあります。

　ただ、「数学的に」本当にそうなのかは示せていないということもあります。直感に頼らず、どう考えてもこうなると示すのが数学です。証明にもなっていないといけないんですね。

　そのためには方法がいろいろ用意されていて、お示しの模範解答は「はさみうち法」と呼ばれるタイプの証明です。

> １＜√３＜２

　これをもうちょっときちんとやると、√3＞0、(√3)^2＝3ということから、

　1^2＜(√3)^2＜2^2
∴√(1^2)＜√{(√3)^2}＜√(2^2)
∴1＜√3＜2
∴5+1＜5+√3＜5+2
∴6＜5+√3＜7
∴6/2＜(5+√3)/2＜7/2
∴3＜5+√3＜3+1/2
∴5+√3＝3+δ（0＜δ＜1/2）

といった手順になります。

　お考えの解法をもう一度考えてみると、「3以上」ないしは「3超」ということは言えていても、「4未満」については明示できていません。そこに差がありますね。

　直感としては明らかに大丈夫に思えますし、実用上は充分使える方法ですが、数学として論理的に隙なく解くのであれば、お示しの模範解答の手順のほうが好ましいでしょう。

お礼

どうも有難うございました。

回答No.3

tmppassenger

その問題を
(5 - √3）/2 の整数部分を求めよ
に変えただけで、それでは通じない事が分かる。

お礼

どうも有難うございました。

回答No.2

maiko0333

√5-√3を求めるとき、
２－１＝１でしょうか？
正しくは
2.2360679-1.7320508=0.5040171になりますね。

お礼

どうも有難うございました。

回答No.1

178-tall

>「(５＋√３）/２の整数部分を求めよ」と云う問題で、、　√３の整数部分が１なので、これを与えられた式に代入して、　（５＋１）/２＝３とするのは、なぜ、誤りなのでしょうか？

この御題に限れば、誤りは無さそう。
非零小数部が複数個ある御題だと誤り率が高まるでしょうけど。

受験環境では「要注意」ということですかネ。
日常環境なら、計算器任せですみます。

お礼

どうも有難うございました。