次の問題の解き方と解答を教えて下さい。 画像に示す

質問

次の問題の解き方と解答を教えて下さい。 画像に示すように、クランクOQがOの周りを一定の角速度ω(ω>0)で回転していて、連結棒QPが点Qでクランクに連結され、点Pは点Oを通る直線上を動くように拘束されている。OQ=r、QP=L、時刻tにおける角POQ=ωtとして、下記の問いに答えよ。OPを結んだ線をx軸とし、Oを原点とする。但し、r<<Lとする。

(1)点Pの座標が、
x=rcosωt-(r^2/2L)(sinωt)^(2)+Lとかけることを証明せよ。但し、aが十分小さいとき、近似式として、
(1+a)^(n)=1+an を用いてもよい。

(2)点Pの速度が最初に0になる時刻を求めよ。(tは0ではない)

(3) (2)で求めた時刻での加速度を求めよ。

以上です。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

(1)点Pの座標 : x=rcosωt-(r^2/2L)(sinωt)^(2)+L

入力しやすいのでωをwで代用する。

∠QPO=pとする。

図より
x=rcoswt+Lcosp (1)
Lsinp=rsinwt (2)

(2)より
sinp=(r/L)sinwt
cosp=√(1-sin^2p)= √(1-(r/L)^2sin^2(wt))
r/L<<1なので近似式を使用して
cosp =1-(1/2)(r/L)^2sin^2(wt)

(1)に代入
x=rcoswt+L[1-(1/2)(r/L)^2sin^2(wt)]
= rcoswt-(r^2/2L)sin^2(wt)+L

(2)点Pの速度vが最初に0になる時刻を求めよ。(tは0ではない)
v=dx/dt=-rwsinwt-(r^2/2L)2wsinwtcoswt=-wrsinwt[1+(r/L)coswt]
r/L<<1なので1+(r/L)coswtが0になることはない。
よって祭祀にdx/dt＝0となるのは
　　sinwt=0　⇒　wt=π

(3) (2)で求めた時刻での加速度aを求めよ。
a=d^2x/dt^2=dv/dt=-rw^2coswt[1+(r/L)coswt]-wrsinwt[-(r/L)wsinwt]
=-rw^2coswt-(r^2w^2/L)cos^2wt+(r^2w^2/L)sin^2wt
ｗt=πのとき
a=rw^2-r^2w^2/L=rw^2[1-(r/L)]