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角度について考える際のノウハウ
- 角度について考える際のノウハウについてまとめました。
- 角度に関する問題解決の手助けになる方法やアプローチについてお伝えください。
- 角度の関連問題の例題を通じて、発想方法やアプローチについてご教示いただければ幸いです。
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Oを原点 レールに平行にP1方向にx+軸をとり レールに垂直にP1方向にy+軸をとる β=θ3 θ=∠P1OTn レールPnP1とバーPnTnのなす角をα レールとPnOのなす角をγ Pn=(Px,Py) Tn=(Tx,Ty) とすると Py=(L1+L2)sinβ Ty=L1sin(β+θ) ↓ Py-Ty=L2sinα=(L1+L2)sinβ-L1sin(β+θ) ↓ sinα={(L1+L2)sinβ-L1sin(β+θ)}/L2 ↓ レールPnP1とバーPnTnのなす角は α=arcsin[{(L1+L2)(sinβ)-L1sin(β+θ)}/L2] 座標を複素数表示すると Tn=L1e^{i(β+θ)} Pn-Tn=L2e^{iα} An-Tn=e^{i(β+θ-π/2)} (Pn-Tn)/(An-Tn)=L2e^{i(α-β-θ+π/2)} ↓ ∴An-Tn-Pnが成す角は ∠AnTnPn=α-β-θ+π/2 Tx=L1cos(β+θ) Px-Tx=L2cosα Px=L1cos(β+θ)+L2cosα ↓ Pn=(L1cos(β+θ)+L2cosα,(L1+L2)sinβ) ↓ tanγ=(L1+L2)(sinβ)/{L2cosα+L1cos(β+θ)} ↓ レールとPnOのなす角は γ=arctan[(L1+L2)(sinβ)/{L2cosα+L1cos(β+θ)}] 座標を複素数表示すると Pn=|Pn|e^{iγ} P1=(L1+L2)e^{iβ} Pn/P1={|Pn|/(L1+L2)}e^{i(γ-β)} ↓ ∴P1-O-Pnが成す角は ∠P1OPn=γ-β まとめると β=θ3 θ=∠P1OTn α=arcsin[{(L1+L2)(sinβ)-L1sin(β+θ)}/L2] γ=arctan[(L1+L2)(sinβ)/{L2cosα+L1cos(β+θ)}] ∠AnTnPn=α-β-θ+π/2 ∠P1OPn=γ-β
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- 178-tall
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>直角を持たない三角形における ３辺の関係に ピタゴラスを持ち込めるのか … (ANo.5, 7) 参考 URL 「スライダ クランク 機構」の点 P 算式に戻ってみよう。 >図4 スライダクランク機構にて、点 A から yp = -h … (2) へ垂線を下ろすと？ ↓ その垂線の足を Q とでもすれば、⊿AQP が「直角三角形」で、 QP = √{ p^2 - (asinθ+h)^2 } だった。
お礼
おぉ！、 有り難うございます。
- 178-tall
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>ANo.9 の大錯乱を訂正。 式 (a) の右辺前半 r2e^θ1 + r3e^jθ3 が、Figure 4.22 の原点から点 B に至る複素算式。 また、式 (a) の右辺後半 - r1e^(-jπ/2) - r4e^j0 が、点 B から原点に戻る複素算式に相当してます。
お礼
訂正、有り難うございます。
- 178-tall
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>… 英語読めませんでした。 pdf の p.197 にある図面 (Figure 4.22 Offset slider-crank mechanism) と 式 (a) を眺めるだけで十分。 式 (a) の右辺前半 r2e^(-jπ/2) + r3e^jθ3 が、Figure 4.22 の原点から点 B に至る複素算式。 また、式 (a) の右辺後半 - r1e^jθ1 - r4e^j0 が、点 B から原点に戻る複素算式に相当してます。 >複素算式 (a) を実部＆虚部にわけて変形すれば、「Pythagoras 流」の算式にたどり着けそう。 … ではあります。 だけど、(ANo.5, 7) 参考 URL の図4 (スライダクランク機構) を眺めつつたどるほうが、てっとり早いかモ。
お礼
有り難うございます。 複素数の適応法について 素養が足りてない模様です。 今回に即して言えば 座標系の中での複素数 此が判りません 後、言えば 直角を持たない三角形における ３辺の関係に ピタゴラスを持ち込めるのか 済みません、 導いて頂ければ幸いです。
- 178-tall
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>…私の書いた図で言うところの 点O、点Pn、点Tn、 此等の相対位置関係が判る ならば故に、 各X、Y、軸と 各点の相対関係から来る角度 其の差が判る … ん～ … ですか？ (ANo.5, 7) 参考 URL 「スライダ クランク 機構」の点 P 算式は、図4 (スライダクランク機構) を眺めながらたどれる簡潔な「Pythagoras 流」でした。 「参考 URL」のComplex-Algebra Methods などがその原型らしい。 複素算式 (a) を実部＆虚部にわけて変形すれば、「Pythagoras 流」の算式にたどり着けそう。 (ANo.3, 4) の「x-y 座標モデル」は、図4 (スライダクランク機構) の 点 A を与えて、そこから距離 p の直線 yp = -h 上の点 xp を求めるもの。 2 次方程式を解くだけのてっとり早さ … けれど 2 つ解が出るのが難点。
お礼
有り難うございます。 ご免なさい 英語読めませんでした。 折角示して頂けたのに
- 178-tall
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>此の式 ルートに囲われている内はピタゴラスの定理ですかね そのとおりです。 点 P の位置 ： xp = acosθ + √{ p^2 - (asinθ+h)^2 } … (1) yp = -h … (2) の √{ p^2 - (asinθ+h^2) } が「ピタゴラス」。 >でも > →コサインが 何故付くのか > →一つの式で表すには > どう変形すればいいか … 図4 スライダクランク機構にて、点 A から yp = -h … (2) へ垂線を下ろすと？ 原点 O から下ろした垂線の足から、そこまでの距離が acosθ 。 そこから点 P までの距離が √{ p^2 - (asinθ+h)^2 } … という「ご明算」になってます。
お礼
有り難うございます。
補足
そうか！！ ですよね 相対位置としての任意座標系でのX、Y、此の差が判れば 其の座標系での角度が 逆関数により判る 此の際に 標準としたい座標系と、 先の任意座標系との 其の角度差を θ等に対し 補正し導入する ですね、 ですよね 有り難うございます。 要は オフセットのあるピストンエンジン 此を例題として考える時、 其のボトルネックは 標準としたい辞表系とピストン移動の軌跡に角度差が生まれる 此の点にある 此の時、 標準としたい座標系における 従来型のクランクの軌道において 機構にオフセットを入れる すると、 上が上死点 という既成概念は崩れ そうでは無くなり 其れを遵守する意味が消失する ので、 標準としたい座標系 此から脱却し X、又はY、の軸のどちらか 其れとピストン軌道とが 平行 そんな任意座標系に、移行し 考察する 成る程! そう思ってしまえば ご開設頂いた 其のまんま ですね 後は 私の書いた図で言うところの 点O、点Pn、点Tn、 此等の相対位置関係が判る ならば故に、 各X、Y、軸と 各点の相対関係から来る角度 其の差が判る … …… ……… ん～ … ですか？
- 178-tall
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ANo.3 ～ 4 の「x-y 座標モデル」は、 x の 2 次方程式を解いてピストンピンの座標を求めるシナリオ。 簡潔な「Pythagoras 流」なら、 参考 URL の「スライダ クランク 機構」など … ですかネ。
お礼
有り難うございます。 拝見します。
補足
なるほど! スライダクランク機構ですね 此の式 ルートに囲われている内はピタゴラスの定理ですかね でも →コサインが 何故付くのか →一つの式で表すには どう変形すればいいか 此かぴんと来ません こんな時こそ 発想のノウハウを学べれば… と、痛感します
- 178-tall
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>ANo.3 錯誤を訂正。 (1) クランクピン の座標 T [x, y] [ -L1sinθ, L1cosθ ] … かな？
お礼
有り難うございます。
- 178-tall
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>… 確かに 例として挙げた問題は 其の通りなのです… 「オフセット・クランク機構」なのだ … として「上死点」位置での直交座標を想定。 以下、 P1 - T1 - O を追跡する勘定シナリオの一例でも…。 O を原点、O - P1 を y 軸、そして O 軸を通る x 軸、を想定。 (0) レール上の座標 (x, y) y = Ax + (L1+L2) (1) クランクピン の座標 T (x, y) (L1cosθ, L1cosθ) (2) T (x, y) から距離 L2 なるレール上のピストンピンの座標 P (x, y) は？ (1), (2) 間距離 = L2 (実解 2 つ、または無し) あとは角度勘定など、ご随意に。
お礼
不躾な物言い にも、関わらす 道をお示し頂き 有り難うございます。 正直未だ明確ではない の、です ただの幻惑かどうか 其れすらも判りません が、 朧気に何かが見えた気がします。 また何時か 道に迷った際は 今一度 道を示して頂ければ 幸いです。 どうぞ宜しく お願い致します。
- 178-tall
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「添付図」を眺めた感じでは、いわゆる「オフセット・クランク機構」みたいですネ。 ↓ 参考 URL / ピストン・クランク機構の力学 ・オフセットクランク機構 など、役立ちませんか？
お礼
来訪頂き感謝致します。 ただ、確かに 例として挙げた問題は 其の通りなのです が、 質問点は其処に無いのです 質問文中にも 魚を与えず、漁の方法を与える と、書かせて頂いた かと、思いますが 今回のように 壁にぶつかった場合 出来れば やはり自分で 乗り越えたい 出来れば お手を煩わず済ませたい そう思うのです。 なので、 そのためのヒントやノウハウを頂きたい の、ですが、 此の点にこそ ヒントやノウハウを知る 此の点こそに 此の質問の神髄があるのです 口幅ったい事を申して お気を悪くした やも、知れません が、出来れば枉げて ご容赦頂き ご指南を頂ければ幸いです。 どうぞ宜しくお願い致します。
- bran111
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・絵と説明が離れていてわかりづらい ・説明が冗長で縦長すぎて、絵とあえて距離を与えていて、理解を妨げている。 ・説明は数行で済むのではないですか。 ・クランクといっても各種あります。最も近い構造図を与えるウエブサイトを示してください。
お礼
お越し頂いた事に対し感謝致します クランク と、言う言葉かお気に召さない 申し訳ありません。 ですが、 其処は十箱の隅の裏側 主点には何ら関わらない点です。 ので 回転体とか、バーとか、 臨機応変に お読み替え頂ければ幸いです。 あと、 もし質問文にご指摘頂ける ならば 形状変化をどうご説明すべきか 改善例をご指導頂けないでしょうか？ どうぞ宜しくお願いします。
お礼
有り難うございます。 直ぐには読み解けない の、ですが よく見てみます。
補足
回答として 〉n=(Px,Py) 〉Tn=(Tx,Ty) 〉とすると 〉Py=(L1+L2)sinβ 〉Ty=L1sin(β+θ) 〉↓ 〉Py-Ty=… 此のあたりがよく判らなかった (※注１：(L1+L2)sinβ = レール-O間距離？) (※注２：β+θ、此は四角形oP1PnTnの内の２角の和？) では、ありますが 実質的な解へのルートが 此のご回答により 得れました ですので ベストアンサー と、させて頂きます。