∫cosx/(4+sin^2x)dxについて

質問

∫cosx/(4+sin^(2)x)dxについて

部分分数分解などを使うのだと思いますが、解き方がよくわかりません。

どなたか、やり方や答えなど教えていただけないでしょうか？

回答よろしくお願いいたします。

回答No.3

Water_5

sin(x)=tとおいて置換積分すると
dt/ｄｘ＝cos(x)、dt=cos(x)ｄｘ

I=∫cos(x)/(4+sin^2(x))dx=∫1/(4+t^2) dt
=(1/2)arctan(t/2) +C

参考URL：

http://sky.geocities.jp/saganly/

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これからもよろしくお願いします。

回答No.2

info222_

sin(x)の微分のcos(x)が分子にあるので
sin(x)=tとおいて置換積分すると
cos(x)dx=dtなので
I=∫cos(x)/(4+sin^2(x))dx=∫1/(4+t^2) dt
=(1/2)tan^-1(t/2) +C
変数を元のxに戻すと
=(1/2)tan^-1(sin(x)/2)+C
(注：tan^-1(x)=arctan(x),アークタンジェント)

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回答No.1

wakakusa01

sin^2x = 1 - cos^2xなので
分母＝5 - cos^2x = (√5 + cosx )( √5 - cosx )
1 / ( √5 - cosx ) - 1 / (√5 + cosx ) = 2cosx / (4+sin^(2)x)
与式　＝　1 / 2 ∫{1 / ( √5 - cosx ) - 1 / (√5 + cosx )} dx
= log( √5 - cosx ) / sinx - log( √5 + cosx ) / sinx + C
・
・
=1 / sinx log (4+sin^(2)x)
ではないでしょうか。
要は、 log (4+sin^(2)x)を微分したら、問題の式*sinxになりますね。多分。

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