弾性的変化をする座標解析の名前

質問

弾性的変化をする平面上にＮ個の点があり、ある点が平面方向に応力を受けると、その点と近傍のほかの点との距離が弾性的に連続するとします。
その点が応力を受けて変化すると言うより、その点が元の位置から一定量変化したと考えても良い。
このような点の位置変化が、全ての点に対して個別に定義されたとき、相互に作用することになる各点の位置や、これらの点以外の平面状の位置が結果としてどうなるかを計算することはできるでしょうか。
このような問題の解析に数学的になにか検索できるような名前があるでしょうか。
　問題の背景は、月とか惑星を市販のカメラで撮影するとき、ccdノイズが出たり、大気の揺らぎでぼやける問題がありますが、これを軽減するため多数枚撮影して重ね合わせる方法があります。
このばあい、大気の揺らぎで位置が変化しているので、重ね合わせるためには位置を適応的に補正してやらねばなりません。
そのような処理を行っているのではと思しきソフト（REGISTAX）がありますが、どのような位置補正を行っているのだろうか。そんなことはそもそも可能だろうかという疑問からです。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

#2です。天文板の方も読みました。

　#2の趣旨は、
＞このような点の位置変化が、全ての点に対して個別に定義されたとき、相互に作用することになる各点の位置や、これらの点以外の平面状の位置が結果としてどうなるかを計算する・・・

ために開発された特別な数学的表現はありますが、今回の件は、オイラー表現やラグランジュ表現で検索しても、有用な結果は得られないだろう、です。

　前回の(1)はあくまで流体に対するものであり、それがそのまま多数枚撮影の重ね合わせに適用できる根拠なんかありません。また粗視化の考えには、オイラー表現やラグランジュ表現も不要です。

　#1さんと自分とで共通するのは、大気の揺らぎまで正確に（流体力学的に？）計算するのは不可能なので、恐らく統計的に補間問題の解を最適化する事だろう、です。

　ところが補間方法ってのは、ほとんど人間の勝手です。ケースバイケースで、良さそうなのを選ぶのが現実です。補間の支配方程式で普遍的に妥当するのは、恐らく物理現象の微分可能性を利用する方法です。

＞画像内の２点間で、画像間に差があるばあい、一方の位置を伸縮させるとともに、その周辺にもその変位を影響させ、それを画像内の多数の点で相互に影響させるような変形補正を行えば・・・

　こういう事を手動でやった事があります。素材は、航空測量写真（高解像度画像）と、国土地理院のデジタル数値地図（←といってもただのgif画像(^^;)）の画像マッチングです。

　どうやったかというと、両方の画像で明らかに同じとわかる4点を探します（結局、地図情報ですから）。4点はできるだけ広く、大きな四角形を作らせた方が計算誤差的には有利です。そして特定した4点を完全に一致させるような線形変換（1次変換）を求め、求めた線形変換で他の全ての点も、一方から他方へ移します。この作業はGISソフト上でやったので、4点の特定以外はソフトがやってくれました。

　この方法の根拠には、物理現象の微分可能性があります。微分可能とは、入力の差がちょっとなら出力の差は、基準点（特定した4点）からの距離で比例配分した差になるはずだ、という考えです。だから2次元の比例関数である、1次変換を逆算します。写真で得られた画像は、もちろん物理現象だからです。

　この考えの拡張として、出力の差は求めた1次変換にそのまま比例するのではなく（例えば遠過ぎる点では、大きな誤差が生じそうだ）、基準点からの距離に逆比例するような低減を考慮してみる、と仮定する事も出来ます。これなら局所的な微調整も可能です。さらに4点以上の基準点を与えて、局所的な1次変換をつなぎ合わせるという手もあります。

　基準点の特定は手動の場合、目標点を含む近傍を画素1個1個がみえるくらいに拡大し、最も画素が濃い（明るい）と思える画素の中心を、クリックする訳です(^^;)。

　それでもこの例では、もともとの素材が高精度だったせいか、局所的な1次変換などの小細工はしない方が、より良くマッチングしました・・・(^^;)。結果は1/50000の縮尺に対して最大10m程度の誤差という、なかなか満足のいく結果でした。10mは1/50000の縮尺で、ペーパー上で0.2mmですから(^^)。

　しかし上記を完全自動化するためには、まず基準点を自動発生させる必要があります。例えばそれをモンテカルロ法などでランダムに発生させるとしても、多数枚撮影された写真のどれがより正確かなどの情報はなく、統計的にはみな同じ重みでしょうから、画郭にランダム発生させた位置から、同じ点だと思える画郭座標に移動するには、やはり粗視化フィルターのような統計的な仕掛けは必要と思えます。

＞このような処理が実用的な範囲で可能であることが確かめられれば十分なのです。

　経験的にいうと、最近のソフトは想像以上に良く出来てますので、実用的には十分と思います。ただし理科年表や天文学会の発表と比較する場合には、ソフトの仕様（精度）とマニュアルを、がっつり読む事をお奨めします。

　スパース・モデリングなどの技術は、市販ソフトにそのうち降りてくると思います。楽しみです(^^)。

お礼

今回頂いたコメントはかなり理解できました（笑）。天文版も見て頂きありがとうございます。
複数の航空写真あるいは衛星画像から地図を作る場合の隣接間のつなぎ合わせと似ていますね。googlemapやstreetviewも似ていますね。
おやりになったのは４点だそうですが、この小区画が多数ある場合は、あるいは３点区画の線形変換も考えられるように思いました。この程度なら計算量も見通しが建てられそうですね。案外このような泥臭い方法なのかも知れません。

>経験的にいうと、最近のソフトは想像以上に良く出来てますので、実用的には十分と思います。

そのようですね。

>ソフトの仕様（精度）とマニュアルを、がっつり読む事をお奨めします。
仰せの通りです。原理については書いてなさそうでしたが。それより室内で実験画像を作って振る舞いを調べる方が早そうな気が・・・。

またスパース・モデリングも検索して見ましたが、若いころなら、興味を引きそうなテーマもありました。
宇宙の大規模構造の問題など日本人もたしか活躍しているよう（テレビで）に思いますが、こういった分野なのですね。名前だけの知識が得られました。
全然関係ないですが、多次元の現象を少数の変数で説明しようともするそうですが、自然科学でない卑近な経済現象を少ない変数で普遍的に説明できないかについて、日ごろ趣味で調べています。

いろいろアドバイスありがとうございました。

回答No.2

noname#221368

冒頭の物理モデルで良く使われるのは、オイラー座標とラグランジュ座標です。これらの座標は流体力学から出てきました。わかりにくいのは、オイラー座標もラグランジュ座標も、空間に固定された絶対座標を基準として参照しているという点です。

　流体力学では、流体の各点(x，y，z)での速度が、任意の時間tで全てわかれば、系は解けた事になります。そこで速度vを、v(x，y，z，t)（←3次元のベクトルです）で表します。ここで(x，y，z，t)の(x，y，z)は、空間に固定された基準としての絶対座標です。

　流体「力学」なので、運動方程式があります。運動方程式は加速度と力の関係です。そこでv(x，y，z，t)から、加速度を計算します。ある時刻tに、位置(x，y，z)にいた流体粒子は時間間隔Δtの後には（時刻(t＋Δt)には）、(x＋Δx，y＋Δy，z＋Δz)にいるという表現を使います。一個の流体粒子の速度は、

　　・Δtの間に、v(x，y，z，t)　→　v(x＋Δx，y＋Δy，z＋Δz，t＋Δt)

と変化したので、後から前の速度差をとってΔtで割り、Δt→0の極限を取れば加速度dv/dtになります。ここで多変数の微積分の知識を使うと、

　　dv/dt＝∂v/∂t＋(∇v)v　　　(1)

です。∇vは(x，y，z)に関するvのヤコビ行列です。力は圧力勾配∇Pになるので（Pは圧力）、

　　ρ(∂v/∂t＋(∇v)v)＝∇P（質量×加速度＝力）　　　(2)

が運動方程式になります。ρは流体密度ですが、(2)は、一個の流体粒子に対するものだとみなせます。以上がオイラー座標による表現です。

　話としてはわかると思うのですが、オイラー表現がわかりにくいのは、粒子の位置(x，y，z)と言いながら、それは粒子の動きを直接追跡した時に得られる位置(X，Y，Z)の、基準座標への翻訳だからです。(X，Y，Z)が普通に言う粒子の位置です。

　それなら(X，Y，Z)を使って、dv/dt＝(dX/dt，dY/dt，dZ/dt)で計算すれば良いじゃないか、という話は当然あります。それがラグランジュ表現です。この場合は(2)は素直に、

　　ρ・dv/dt＝∇P（質量×加速度＝力）　　　(3)

になります。

　ところが普通に使われるのはオイラー表現なんです。どうしてかというと、(3)はまさに流体粒子一個一個に対する運動方程式なので、実用に供するためには厳密には、流体粒子一個一個に対する無限個の(3)が必要だからです。一方(2)なら、全流体領域に対して一本の式でOKです。オイラー表現が普通優勢なのは、そういう技術上の理由です。どっちも言ってる事は同じですが。

　「弾性的変化」というのは比喩的な意味と思いますが、固体の「弾性学」においても、普通はオイラー表現を用います。この場合は運動方程式でなく、釣り合い方程式になります。

　で、ここまで長々と書いてきて申し訳ないのですが、言いたかった事は、あなたの望むような表現は確かにあるにはあるのですが、それは表現に過ぎず結局、支配方程式（運動方程式や釣り合い方程式）がなければ、どうにもならないという事です。

　問題の画像処理（とあえて言います）は、粗視化フィルターの一種では？と思いました。粗視化フィルターは、例えばPCモニターのアンチエイリアス技術として既にあります。

　コンピュータの文字は60×90ピクセル程度の画素で出来た画像です。それ以上の情報はありません。昔のコンピュータでは文字を拡大すると画素がもろ見えで、輪郭がギザギザになりましたが、今はそうなりません。ギザギザの画素集合から画素が連続的につながるような仮想の輪郭線を計算し、より高解像度であるモニターの画素集団へ、文字の輪郭をマップしてるからです。輪郭線の判定には粗視化フィルターが使われてるようです。

　もしWindows系のOSなら、スタート→アクセサリ→システムツール→外字エディターで外字エディターを開き、外字編集画面で適当に画素を塗りつぶした後、メニュー→表示→輪郭線で、塗りつぶした画素集団の連続的な輪郭線が、赤線ですぐに表示されます。

　この輪郭線は、黒白2値の濃淡の局所平均の変化を調べて、最適な連続カーブをフィットすると言う事だと思います。人間はこれと同じ事を、頭の中でやってます。なんとなく多数枚撮影の重ね合わせに似ている気がしませんか？。星なら最も明るいところを狙う訳です。これが本当なら、位置補正は統計的なものになります。

　と言う訳で支配方程式は統計理論かな？、と思います。フィルターの閾値は、最終的には人間が決めるんでしょうけど（最終的には人間が観て、見やすい必要があるから）。

　内容をよく知らないくせに知ったかぶりしますが(^^;)、ベイズ・赤池の情報量最小基準が基本にあるはずです。難しそうですが、実用的には簡単な手法になる事が多いです。じつはこの話は、測定時系列への最適カーブ・フィッティングと同じと思うからです。そうすると最新事情では、スパースモデリングも関係します（←※実用化はまだです）。

お礼

ご返事ありがとうございます。
短期間でこのような展開していただいたこと驚きですが、申し訳ないですが到底すぐには理解できそうもありません。
ただ流体密度的な考えはそうかなとも思います。仮にそうだとしても、運動方程式をそのまま解くなどは実用的でないようなきがします。
違いますがたとえばWEBLET変換などのように計算上実用範囲に入るような変換方法などが無いのか想像したりしました。
後段の粗視化フィルターはわかりますが、そのまま使ったのでは、対象画像内部に変形があった場合は、そのまま適用できないように思います。
画像内に変形があると、その変形をある程度補正できれば、重ね合わせも有効になろうと思うのです。
なにもこのような処理を自分でやろうと目論むのではなく（これを言い忘れていました）、既存のREGISTAXなどのソフトが、このような処理をしていて、その方法がなるほどと納得できるならば、そのソフトを積極的に利用する動機付けになろかと思うだけなのです。
このソフトは、画像内に多数の点を抽出し、それをもとに位置あわせを行っている様なのです。
それで想像したことは、
画像内の２点間で、画像間に差があるばあい、一方の位置を伸縮させるとともに、その周辺にもその変位を影響させ、それを画像内の多数の点で相互に影響させるような変形補正を行えば都合が良いだろうと考えました。
このような処理が実用的な範囲で可能であることが確かめられれば十分なのです。
実際はもっと泥臭い簡便な方法なのかも知れませんが。

回答No.1

178-tall

参考 URL
(コンポジットによる高画質化画像処理プログラムの開発)

参考URL：

http://www.kochi-tech.ac.jp/library/ron/2004/2004ele/1050291.pdf

お礼

ご返事ありがとうございます。
参考urlの研究は、重ね合わせによるノイズ低減が主題で、大気揺らぎの変形に言及していますが、その解決策についてはありません。
今回の疑問の変形があったさいの重ね合わせのための変形補正の可能性と、数学的手法の存在の有無が知りたいところです。有限要素法（良く知りませんが）などが近いのかなあと思ったり、流体変形力学（？）などかなあと思ったりしています。何かそのものずばりがあるとうれしいですが。