log e の計算方法教えてください

質問

log e (100)=4.6
log e (1000)=6.9 らしいのですが、どうやって求めるのか
解説お願いします。

eがネイピア数と言って、2.71ということは分かりました。
eをなん条すると100になるかという式の意味も理解しましたが、行き詰ってしまいました。

回答No.4

bran111 · ベストアンサー

logeを扱うならば
loge(10)=2.303, loge(2)=0.6931
は必ず覚えておいてください。
log e (100)=loge10^2=2loge(10)=2×2.303＝4.606
log e (1000)=loge10^3=3loge(10)=3×2.303＝6.909

お礼

bran111さんの回答もわかりやすいです。
ありがとうございました。参考にします。

回答No.3

Willyt

ln100=2ln10, ln1000=3ln10 ですから ln10 がわかれば両方とも簡単に計算できます。

そこで ln10 なのですが、これは　ln10= log10/log e ＝1/log e となりますから

log e が計算できればいいことになります。 log e =0.4343 となりますが、これはｙ＝ log x をテーラー展開することによって求めることができます。しかし数学の問題では問題文中にこれを表示するのが普通です。ですからこれを使えば
ln10= 1/0.4242=2.3026 となり、これより
ln100=2・2.3026=4.6052
ln1000=3・2.3026=6.9078
となります。

テーラー展開は高校程度の数学には出て来ないかも知れませんが、これをここで長々と説明するのはご勘弁願います。参考書を当たってください。

回答No.2

atkh404185

底の変換公式を使って、eを10にします。（公式、大丈夫ですか）

loge(100)
=(log10(100)/(log10(e))
=(loge(10^2))/(log10(e)))
=2/(log10(e))
=2/(log10(2.71))
ここで、常用対数表から、 log10(2.71)=0.4330 だから、
loge(100)
=2/0.4330
=4.61889・・・

また、
loge(1000)
=(log10(0100)/(log10(e))
=(loge(10^3))/(log10(e))
=3/(log10(e))
=3/(log10(2.71))
=3/0.4330
=6.9284・・・
のようにできます。
教科書や参考書に常用対数表があればいいのですが・・・。

お礼

よくわかりました、ありがとうございました。

回答No.1

noname#232123

自然対数を、ln(x) と書きます。
ln(100)=2*ln(10), ln(1000)=3*ln(10), ln(10^n)=n*ln(10) です。
したがってln(10)をもとめることになります。
手計算では、
(1/2)ln{(1+x)/(1-x)}=x+(1/3)x^3+(1/5)*x^5+(1/7)*x^7+....,
と展開されます。(ただし、|x|<1)
これを使い、x=1/3 とするとln(2),が求まり、x=1/9 とするとln(5/4)が計算できますから、これらの結果をそれぞれA, Bとすると、
ln(2)=A, ln(5) - 2*ln(2)=B より、
ln(5)=2A+B ですから、ln(10)=3A+B となります。

補足

問題の書き方が悪かったみたいでごめんなさい。
log e (100)の答えが4.6になる理由、
それとは別の問で、log e (1000)=6.9になる理由を教えてもらえますか？