logの計算です。

質問

log(10)2=a,log(10)3=bとするとき、a,bを用いて表す問題です。

(1)log(10)1/12

(2)log(10)15

(3)log(10)√0.75

(4)log(2)2.7

(5)log(18)3乗根√24です。

(5)だけ分かりにくい表現になってしまいました。
これらの問題の解説お願いします。

回答No.6

staratras

5つまとめて問われているなら、なるべく統一的な方針で解いた方が効率的です。

１．底が10のものは、真数を1,2,3,10の積・商・べき乗だけで表す。
２，底が10以外のものは、底の変換公式で底を10にそろえ、１を実行する。
３. 対数をとる

１)1/12=1/(3・4)=1/(2^2・3）

２）15=3・5=3・10/2

３）√0.75=(3/4)^(1/2)=(3/(2^2))^1/2

４）log(2)2.7=log(10)(2.7)/log(10)2、 2.7=(3^3)/10

５）log(18)3乗根√24=log(10)(24)^(1/3)/log(10)18、
　　24＾1/3=((2^3)・3)^1/3、18=2・3^2

５）だけ最後まで解くと(底の10は省略)
　　与式=（1/3)(3log2+log3)/(log2+2log3)=(1/3)(3a+b)/(a+2b)=(3a+b)/(3a+6b)

慣れてくれば、途中を頭の中でやることもできるようになりますが、最初は一つ一つ確実に書いて計算した方が誤りが少ないでしょう。

回答No.5

08079463

回答がたくさん出ているので、こうした問題への取り組み方だけ書きます。
問題が、log(10)２、log(10)３なので、log(10)□の□の数字を2と3のかけ算・割り算・累乗で表せば
回答が見えてきます。
あとは、皆さんの回答を見てください。

回答No.4

noname#223065

> log(10)2=a,log(10)3=bとするとき、a,bを用いて表す問題です。

　このように設問で指定されているということは、logの式を、log(10)2とlog(10)3で表せればいいということになりますね。以下で「^2」とあるのは「2乗」ということで、^3なら「3乗」、^(-1)なら「マイナス1乗」で逆数（2の逆数は1/2という風に分数の分母にしたもの）ということとご理解ください（エクセルでも使える書き方です）。

> (1)log(10)1/12

　log(10)の式ですから、中の1/12を2と4で表せればいいわけです。1/12＝12^(-1)＝(2^2×3)^(-1)となることを使います。

　log(10)1/12
＝log(10)(2^2×3)^(-1)
＝-log(10)(2^2×3)　←logの中が何乗の形ならlogの何倍に書き直せる（公式ですね）
＝-{log(10)(2^2)＋log(10)3}　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる（公式ですね）
＝-{2log(10)2＋log(10)3}　←logの中が何乗の形ならlogの何倍に書き直せる
＝-(2a＋b)　←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した
＝-2a-b　←カッコを外した

> (2)log(10)15

　15＝3×5で、5は2と3のかけ算では表せませんね。しかし、5＝10/2としてみると、「log(10)10＝1となることが使えそうだ」と分かります。

　log(10)15
＝log(10)(3×5)　←15＝3×5
＝log(10)(3×10/2)　←5＝10/2
＝log(10)3＋log(10)(10/2)　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝log(10)3＋log(10)(10×2^(-1))　←1/2＝2^(-1)
＝log(10)3＋log(10)10＋log(10)2^(-1)　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝log(10)3＋log(10)10-log(10)2　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝log(10)3＋1-log(10)2　←log(10)10＝1を使った
＝b＋1-a　←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した（これでも正解）
＝-a＋b＋1　←アルファベット順に並べ替えてみた（単なる整頓と思ってください）

> (3)log(10)√0.75

　これも、0.75が2と3のかけ算で表せないか考えてみます。0.75の末尾が5なので「2倍したら0だな」と思いつきます。0.75＝1.5/2＝3/(2^2)とできますね。それと、√という記号は何乗の形では「^(1/2)」となることも使えます。

　log(10)√0.75
＝log(10)√{3/(2^2)}　←0.75＝3/(2^2)を使って2と3だけにした
＝log(10){3/(2^2)}^(1/2)　←√を^(1/2)と書き直した
＝(1/2)log(10){3/(2^2)}　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝(1/2)log(10){3×(2^2)^(-1)}　←1/(2^2)を(2^2)^(-1)と書き直した
＝(1/2){log(10)3＋log(10)(2^2)^(-1)}　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝(1/2)(log(10)3-log(10)2^2)　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝(1/2)(log(10)3-2log(10)2)　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝(1/2)(b-2a)　←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した（これでも正解）
＝b/2-a　←カッコを外してみた（これでも正解）
＝-a+b/2　←アルファベット順に並べ替えてみた（単なる整頓）

> (4)log(2)2.7

　2.7を27とできれば、27＝3^3ということが使えそうです。2.7＝27/10＝3^3×10^(-1)と書き直せばできそうですね。log(2)であることが気になりますが、とりあえずおいておきましょう。

　log(2)2.7
＝log(2)(27/10)
＝log(2){3^3×10^(-1)}　←ここまではlog(2)の中の計算
＝log(2)(3^3)＋log(2)(10^(-1))　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝3log(2)3-log(2)10　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる

　log(2)については設問で何も書かれていませんから、log(10)に直すことを考えてみます。logの公式で、底を変える公式があります（ネットなどで調べると出てきますよ）。その公式で底の2を10に直すと、log(2)x=(log(10)x)/(log(10)2)となります。これを使ってみます。

　3log(2)3-log(2)10
＝3(log(10)3/log(10)2)-log(10)10/log(10)2　←底を変える公式を使った
＝3(b/a)-1/a　←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した（これでも正解）
＝3b/a-1/a　←カッコを外してみた（これでも正解）
＝(3b-1)/a　←分母が同じaなのでまとめてみた

(5)log(18)3乗根√24です

　3乗根√24は、√の横に小さい3を書いてあるのでしょうか。そうだと、24の3乗根ということになります。そうだとして続けてみます。24の3乗根は24^(1/3)と書けます（√が^(1/2)と書けるのと似たようなもの）。24＝8×3＝2^3×3ですね。底の18はとりあえずおいておきましょう。

　log(18)3乗根√24
＝log(18)(24^(1/3))　←3乗根を^(1/3)で書き直した
＝(1/3)log(18)24　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝(1/3)log(18)(2^3×3)　←24＝2^3×3
＝(1/3){log(18)(2^3)＋log(18)3}　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝(1/3){3log(18)2＋log(18)3}　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる

　底を変える公式を使うと、log(18)2＝(log(10)18)/(log(10)2、log(18)3＝(log(10)18)/(log(10)3)です。aとbで表すには、log(10)18をlog(10)2とlog(10)3で表せればよさそうです。

　18＝2×3^2ですから、なんとかなりそうです。先に、log(10)18を計算しておきましょう。

　log(10)18
＝log(10)(2×3^2)　←18＝2×3^2
＝log(10)2＋log(10)(3^2)　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝log(10)2＋2log(10)3　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝a＋2b　←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した

　log(10)18がなんとかなりましたので、元の式の変形を続けてみます。

　(1/3){3log(18)2＋log(18)3}
＝(1/3){3(log(10)18)/(log(10)2)＋(log(10)18)/(log(10)3)}　←底を変える公式を使った
＝(1/3)(log(10)18){3/(log(10)2)＋1/(log(10)3)}　←分子が同じなのでくくった
＝(1/3)(a+2b)(3/a＋1/b)←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した（これでも正解）
＝(a+2b){1/a＋1/(3b)}　←1/3を2番目のカッコの中にかけてみた

回答No.3

asuncion

複数の回答が出ていて、何が正しいのか質問者さんが混乱するといけないのでちょっとだけ補足。

＞(3)log(10)√0.75=log(10) (3/4)
ここの変形が間違い。

＞(4)log(2)2.7=log(10) (27/10)
ここの変形が間違い。

回答No.2

noname#222880

(1)
log(10)1/12
=-log(10)12
=-log(10)(2^2*3)
=-{log(10)2^2+log(10)3}
=-{2log(10)2+log(10)3}
=-(2a+b)

(2)
log(10)15
=log(10)(3*10/2)
=log(10)3+log(10)10-log(10)2
=b-a+1

(3)
log(10)√0.75
=log(10)(3/2^2)^1/2
={log(10)3-log(10)2^2}/2
={log(10)3-2log(10)2}/2
=(b-2a)/2

(4)
log(2)2.7
=log(10)2.7/log(10)2
=log(10)(3^3/10)/log(10)2
={log(10)3^3-log(10)10)}/log(10)2
={3log(10)3-log(10)10}/log(10)2
=(3b-1)/a

(5)
log(18)3乗根√24
=log(10)3乗根√24/log(10)18
=log(10)(2*3^1/3)/log(10)(2*3^2)
={log(10)2+log(10)3^1/3}/{log(10)2+log(10)3^2}
={log(10)2+log(10)3/3}/{log(10)2+2log(10)3}
=(a+b/3)/(a+2b)
=(3a+b)/(3a+6b)

回答No.1

info222_

(1)log(10)1/12=log(10)1-log(10)12=0-log(10) (2^2*3)=-2a--b

(2)log(10)15=log(10)30/2=log(10) 10+log(10)3-log(10)2=1+b-a=1-a+b

(3)log(10)√0.75=log(10) (3/4)=log(10) 3 -2log(10) 2=b-2a

(4)log(2)2.7=log(10) (27/10)=3log(10)3 -loh(10) 10 = 3b-1

(5)log(18) (24^(1/3))={ log(10) (24^(1/3))} / log(10) 18
=(1/3) {log(10) 3*2^3 } / log(10) (2*3^2)
=(1/3) (b+3a) / (a+2b)