高校数学II 対数について

質問

高校数学IIで分からない問題があり、質問させていただきます。

以下の式を簡単にせよ。
(1)log2(3)+log4(6)-1/2log8(54)
(2)log2(3/4)+log2(√12)-3/2log2(24)

考え方でも教えて貰えれば助かります。お願いします。

回答No.4

atkh404185

対数について、次のような関係式があります。
（この問題に関する関係式のみ書きます）

１．　loga(a)=1
２．　loga(xy)=loga(x)+loga(y)
３．　loga(x/y)=loga(x)-loga(y)
４．　loga(x^p)=ploga(x)
５．　loga(b)=logc(b)/logc(a)　（底の変換公式）　

loga(x)　で、 a は底、 x は真数 といいます。

これらを使って、
(1)　log2(3)+log4(6)-1/2log8(54)　は

log4(6)　は、まず、　５　を使って底を　「　２　」　に変えます。
log4(6)=log2(6)/jog2(4)
次に、分母は　４　を、分子は　２　を使って計算していきます。
=log2(2×3)/log2(2^2)
={log2(2)+log2(3)}/2log2(2)
分母は、　１　を使って
={log2(2)+log2(3)}/(2×1)
分子は、　１　を使って
=(1/2)×1+(1/2)log2(3)
=(1/2)+(1/2)log2(3)
になります。

1/2log8(54)　は
⇑ (1/2)×log8(54) と判断して計算します
　　1/(2log8(54))=1÷(2log8(54))　ではないですね？
まず、　５　を使って底を　「　２　」　に変えます。
=(1/2)(log2(54)/log2(8)
次に、分母は　４　を、分子は　２　を使って
=(1/2)(log2(2・3^3)/log2(2^3)
=(1/2){log2(2)+log2(3^3)}/3log2(2)
分母は　１　を、分子は　１と４　を使って
=(1/2){1+3log2(3)}/(3×l)
=(1/6)+(1/2)log2(3)
になります。

したがって、（1) は
log2(3)+log4(6)-1/2log8(54)
=log2(3)+(1/2)+(1/2)log2(3)-{(1/6)+(1/2)log2(3)}
=log2(3)+(1/2)+(1/2)log2(3)-(1/6)-(1/2)log2(3)
=log2(3)+1/3
になります。

(2)　ですが、
√x=x^(1/2)　・・・・・・（ア）
です。

log2(3/4)+log2(√12)-3/2log2(24)　は

log2(3/4)　は、　３　を使って
=log2(3)-log2(4)
次に、　１　を使って
=log2(3)-log2(2^2)
=log2(3)-2log2(2)
=log2(3)-2×1
=log2(3)-2

log2(√12)　は、
=log2(2√3)　と直して、　２　を使って
=log2(2)+log2(√3)
１　と　（ア）　を使って
=1+log2(3^(1/2))
４　を使って
=1+(1/2)log2(3)

3/2log2(24)　は、　２　を使って
=(3/2)log2(2^3・3)
=(3/2){log2(2^3)+log2(3)}
４　と　を使って
=(3/2){3log2(2)+log2(3)}
１　を使って
=(3/2){3×1+log2(3)}
=(3/2){3+log2(3)}
=(9/2)+(3/2)log2(3)

したがって、　(2)　は
log2(3/4)+log2(√12)-3/2log2(24)
=log2(3)-2+{1+(1/2)log2(3)}-{(9/2)+(3/2)log2(3)}
=log2(3)-2+1+(1/2)log2(3)-(9/2)-(3/2)log2(3)
=-(11/2)
になります。

log2(8)=log2(2^3)=3log2(2)=3×1=3
の計算は、式を書くのが大変です。
これは、
log2(8)=3
と、してもいいです。

対数の式は、指数の式から作られています。

　　　　a^x=y　　⇔　　x=loga(y)

です。

loga(y)　ですが、

《　a　》　を何乗すると　《　y　》　になるか、それは　《　x　》 です。

というように、解釈しています。　（⇦ a^x=y　の式から）

log2(8)　であれば、
２　を何乗すると　８　になるか、それは　３（乗）　です。
という具合に。

あと、

loga(1)=0　　　loga(b)=1/logb(a)

などの、大切な式があるので、
これらもしっかりと覚えて計算できる（使える）ようにして下さい。

回答No.3

bran111

(1)log2(3)+log4(6)-1/2log8(54)

底を共通化するというのが原則です。その一般公式は

loga(b)=logc(b)/logc(a)

本問ではc=2

log2(3)+log4(6)-1/2log8(54)=log2(3)+log2(6)/log2(4)-1/2log2(54)/log2(8)

=log2(3)+log2(6)/2-1/2log2(2×3^3)/3=log2(3)+(1/2)[log2(2)+log2(3)]-(1/6)[log2(2)+3log2(3)]

=(1+1/2-3/6)log2(3)+(1/2-1/6)log2(3)=log2(3)+(1/3)log2(2)=log2(3)+1/3

(2)log2(3/4)+log2(√12)-3/2log2(24)

=log2(3)-log2(4)+(1/2)log2(2^2×3)-3/2log2(3×2^3)

=log2(3)-log2(4)+(1/2)[2log2(2)+log2(3)]-3/2[log2(3)+3log2(2)]

=(1+1/2-3/2)log2(3)+(-2+1-9/2)log2(2)=-11/2log2(2)=-11/2

回答No.2

noname#223095

(1)　対数の計算は底をそろえることが大事です．その際に底の変換公式が使われます．何にそろえてもよいのですが，今の場合は底を2にそろえるとやりやすいでしょう．そろえてしまえば，あとは対数法則に従って１つの対数にまとめるだけです．まとめた後で，

　　　　　6＝2×3，　　54＝２×3^3 (3^3は3の3乗を表します)

などを使って，真数を簡単化して行けばよいでしょう．

(2)　元々の式がすべて底２でそろっていますので，底の変換をする必要がありません．いきなり対数法則を使って１つの対数にまとめにかかります．そのあとは

　　　　　4＝2＾2，　　12＝3×2＾2，　　24＝3×2＾3

などを使うとよいでしょう．

参考になりましたら．

回答No.1

itaitatk

対数の底をそろえれば解けます