数II対数

質問

数IIの問題(1) 7^81 は何桁の整数か。ただし、log(10)7＝0.8451
(2) 7＾81 の最高位の数が２であることを示せ。ただし、log(10)2＝0.3010、log(10)3＝0.4771 とする

(1)は６９ケタとわかりますが(2)で81=10^68.4531の10^68の部分で桁数の69がわかり.小数部分の10^0.4531で先頭からどのような数が並ぶかがわかるらしいですが、それの意味がよくわからないです。
簡単な例などでおしえていただけるとありがたいです

そして7^81=10^0.4531×10^68で，2×10^68＜7^81＜3×10^68なのですから先頭の数は2

と判断される理由もよくわからないです

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

＞(1)は６９ケタとわかりますが(2)で81=10^68.4531の10^68の部分で桁数の69がわかり.小数部分の
＞10^0.4531で先頭からどのような数が並ぶかがわかるらしいですが、それの意味がよくわからないです。

log7^81=81*log7=81*0.8451=68.4531・・・※
log10^68<log7^81<log10^69

10^68<7^81<10^69

10^68というのは1のあとに68個0が並ぶので、桁数でいえば69桁。
10^69は桁数は70桁で10^69より小さいということは、69桁。

※から
7^81=10^68.4531
　　=10^68*10^0.4531
=（1の後に0が68個ならぶ数）*10^0.4531・・・※1

log2<0.4531<log3より、log2<log10^0.4531<log3だから
2<10^0.4531<3
これより10^0.4531の整数部分は2とわかる。

これを※1に戻してかんがえれば結果はわかりますよね。

回答No.1

asuncion

7^81=(10^0.4531) × 10^68 …… (1)
log(10)2=0.3010より、10^0.3010=2 …… (2)
log(10)3=0.4771より、10^0.4771=3 …… (3)

(1)÷10^68より、(7^81) ÷ 10^68 = 10^0.4531
(2)(3)と比較して、
2 < (7^81) ÷ 10^68 < 3
つまり、7^81=何とか × 10^68 の「何とか」の部分は、
2より大きく、かつ、３より小さい。
よって、「何とか」の先頭の数は2である。