この数学の問題の解説についてなのですが、ここでどう

質問

この数学の問題の解説についてなのですが、ここでどうして1/3をかけているのかがりかいできないです。教えてください

回答No.3

bran111 · ベストアンサー

この問題は相加相乗平均の例題として出ているからこのような解き方をしているのかもしれませんが、受験という目で見ると最悪の回答です。試験場でこんな持って回った回答を考えているようでは確実に不合格です。

合格答案は以下のような論法で進めます。
x^2-2x+y^2=0　⇒　(x-1)^2+y^2/(1/2)^2=1　　　(1)
これからこの曲線は中心が(1,0)長軸がx軸上で長さが1、短軸がy方向で長さが1/2の楕円ということは把握してください。
(1)上の点(p,q)がz=xy=pqを最大にするということは楕円(1)と双曲線xy=zが接する点であり楕円の右上の点ということが図上で確認できますか。

最大値の求め方は以下のように行います。
(p-1)^2+q^2/(1/2)^2=1　　　　　（2）
を満たす点(p,q)がz=pqを最大にするとき、最大値を求める。
q=z/p
を（2）に代入して
(p-1)^2+4z^2/p^2=1　
整理して
4z^2=2p^3-p^4
図よりp≧0
としてよいので
z=(1/2)p√(2p-p^2)　　　　　（３）

この先は微分の知識が必要です。微分の知識がないときはこの問題は不向きです。
dz/dp=(1/2)[√(2p-p^2)+p(1/2)(2-2p)/√(2-p^2)]=-p(p-3/2)/√(2p-p^2)
p=0,3/2でdz/dp＝0となり
p≦0でdz/dp≦0,
0<p≦3/2でdz/dp≧0,
p>3/2でdz/dp<0,
よってp=3/2で最大となり、(3)に代入して
最大値＝3√3/8

回答No.2

178-tall

(1) 4y^2 = 2x - x^2
　　　↓
　y^2 = (1/4)(2x - x^2)
なので、
　x^2y^2 = (1/4)(x^2)(2x - x^2) = {1/(4*3) }(x^3)(6 - 2x)
と整形してるだけですネ。

(このような整形をせずとも、同じ結論にたどり着けそうな気配…)

回答No.1

jcpmutura

正の実数x,yがx^2-2x+4y^2=0をみたしながら変わるとする
4y^2=2x-x^2>0より,0<x<2…(1)

x^2y^2
=(1/4)x^2(2x-x^2)
=(1/4)xxx(2-x)

x>0,2-x>0(∵(1))だから、相加平均≧相乗平均より
x+x+x+(2-x)=2+2x=2(1+x)
{xxx(2-x)}^{1/4}≦{x+x+x+(2-x)}/4=(1+x)/2
となって相加平均(1+x)/2が定数とならないから
相加平均を定数とするため
(2-x)に3をかけて(6-3x)にして
(1/3)をかけないと等式が成立しないので
(1/3)をかけている

x^2y^2
=(1/4)xxx(2-x)
=(1/4)xxx(3/3)(2-x)
=(1/4)xxx(1/3)3(2-x)
=(1/4)(1/3)xxx・3(2-x)
=(1/4)(1/3)xxx(6-3x)

x>0,6-3x>0(∵(1))だから、相加平均≧相乗平均より
x+x+x+(6-3x)=6
{xxx(6-3x)}^{1/4}≦{x+x+x+(6-3x)}/4=3/2
となり、相加平均が定数になる