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数学の解説お願いします。
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- NemurinekoNya
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AC = 10は他の回答者さんたちの値を拝借します。 この問題は、△OAB、△OBC、△OCAで考えると、わかりやすいです。 △ABC = △OAB + △OBC + △OCA 円の半径をrとすると、 △OAB = 1/2×AB×r = 1/2×6×r = 3r △OBC = 1/2×BC×r = 1/2×8×r = 4r △OCA = 1/2×AC×r = 1/2×10×r = 5r で、 △ABC =1/2×AB×BC = 1/2×6×8 = 24 そして、 △ABC = △OAB + △OBC + △OCA だから、 24 = 3r + 4r + 5r = 12r ゆえに、 r = 2 となります。 よって、求める面積は 24 - π×2×2 = 24-4π
直角三角形から円の面積を引けばいいので、円の半径を求めればいいのです。この問題は、直角三角形に内接する円の典型的な問題です。円の中心をひとつの頂点とする(1)正方形を作れば、後は(2)円と接線の性質で求まります。 (1)、(2)のどちらかでつまずいていたら、教科書などで復習してみてください。
- spring135
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ピタゴラスの定理により AC^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=100 ゆえに AC=10 辺AB,BC,CAと内接円の接点を各々P,Q,Rとする。この時以下の関係が成り立つ。 AP=AR=a, BP=BQ=b, CQ=CR=c a+b=6 (1) b+c=8 (2) c+a=10 (3) 3式を加えると 2(a+b+c)24 ゆえに a+b+c=12 (4) (4)-(1)、(4)-(2)、(4)-(3)より a=4,b=2,c=6 内接円の中心をOとし、四角形OPBQに注目する。 一般に円の中心と接点を結ぶ直線と接線は垂直である。 つまり ∠OPB=∠OQB=90° ∠QBP=90°なので∠POQ=90° つまり四角形OPBQは長方形でありPB=QBなので四角形OPBQは正方形である。 よって内接円の半径r=OP=QB=2 斜線部分の面積=⊿ABCの面積-円Oの面積=6×8/2-π×2^2=24-4π
- おみみ こみみ(@dreamhope-ok)
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内接円の面積を求めるために、円の半径を考える。(たぶん2だと思うが) AC^=AB^+BC^=36+64=100 AC=10 辺ABと円の接点をX 辺BCと円の接点をY 辺CAと円の接点をZとすると(円外の1点から円に引いた2本の接線の長さは等しい) AX=AZ,BX=BY,CY=CZ また四角形XBYOは正方形だから 内接円の半径を r とおくと r=BX=BY AB+BC=AX+XB+BY+YC =AX+r+r+YC (AX=AZ、YC=CZだから) =AZ+CZ+2r =AC+2r AB+BC=AC+2r 6+8=10+2r r=2 あとはわかりますよね。