複雑な絶対値

質問

|x+1|＜1/2,|y-2|＜1/3のとき、|-8x^3+12xy+３y^2+4|＜10を示せという問題ですが、-2/3<x<-1/2　5/3<y<7/3から1<-8x^3<27　-42<12xy<-10　5/3<3y^2<49/3となり1-42+5/3+4<-10となり明らかに絶対値が10より大きくなってしまいます。方針が間違ってるのでしょうか。

回答No.2

bran111

P=-8x^3+12xy+３y^2+4
2(x+1)=u　　(1)
3(y-2)=v (2)
とおくと題意より
-1<u<1 (3)
-1<v<1 (4)
(1),(2)からx=u/2-1,v=v/3+2をPに代入して整理すると
P=-u^3+6u^2+2uv+v^2/3
Q=3P=-3u^3+18u^2+6uv+v^2
=(v+3u)^2+9u^2-3u^3
(3),(4)より
0<(v+3u)^2<16
-3u^3+9u^2≦Q<-3u^3+9u^2+16
f(u)=-3u^3+9u^2
の(3)における値域を求める。
f'(u)=-9u^2+18u=-9u(u-2)
f(u)はu=0で極小値、u=2で極大値をとる。
f(-1)=12, f(0)=0, f(1)=6, f(2)=12詳しくは増減表、グラフを書いて示すこと
f(u)は(3)において0≦f(u)<12である。
すなわち
0≦Q<28
0≦P<28/3
u=0,v=0すなわちx=-1, y=2のときP=0
u=-1,v=-1すなわちx=-3/2, y=5/3のときP=28

以上より
|P|<28/3<10

回答No.1

atkh404185

|x+1|＜1/2,|y-2|＜1/3のとき、|-8x^3+12xy+３y^2+4|＜10を示せという問題ですが、-2/3<x<-1/2　5/3<y<7/3から1<-8x^3<27　-42<12xy<-10　5/3<3y^2<49/3となり1-42+5/3+4<-10となり明らかに絶対値が10より大きくなってしまいます。

この、

1-42+5/3+4<-10

ですが、

1 は、x=-1/2 を代入したときの値

-42 は、x=-3/2，y=7/3 を代入したときの値

5/3 （← 25/3 ではないですか？）は、y=5/3 を代入したときの値

であるから、

x は -1/2 と -3/2 と異なる値を代入して計算しているし、

y も同じように 7/3 と 5/3 と異なる値を代入して計算している。

からだと思います。