連立不等式の解き方

質問

連立不等式は、連立方程式のように加減法・代入法では解けません…
それはわかるのですが、なんで解けないのか納得のいく答えってあるのでしょうか？
今自分が思う答えは、それじゃぁ解けないから解けないって感じで、そりゃそうなんだけど…なんか。

ちゃんとした理由があれば知りたいです。

そもそも連立方程式の解き方ありきで連立不等式を考えるのがナンセンスなのでしょうか？

回答よろしくお願いします。

回答No.3

noname#223095

お礼を拝見しました．

＞不等式の場合はマイナスを掛けた時に不等号の向きが逆になるからでしたか？

いいところに気づきましたね．はい，そういう場合もあります．しかし，a, b, c, d, k, lがすべて正の数とした場合でも，

　　　　(1)’かつ(2)’がともに成り立つからといって，(3)’，(4)’が共に成り立つ

とは限りません．つまり，(1)’かつ(2)’がともに成り立つが，(3)’，(4)’が共には成り立つとは限らない例をいくらでも作ることができます．例えば，今

　　　　a=1, b=2, c=3, d= 5

とすれば，(1)’，(2)’すなわち，a<c， b<dがともに成り立っています．このとき，k=1, l=2に選ぶと，

　　　　ka‐lc = 1・1‐2・3 = ‐5

となります．一方，

　　　　kb‐ld ＝ 1・2 ‐2・5 = ‐8

となるので，(4)’が成り立たないのですね．

このように，等式の場合は成り立ったようなことが，不等式では成り立たない場合がいろいろ出てくるのです．同様に，

(3)’，(4)’が共に成り立つからと言って，(1)’，(2)’が共に成り立つとは限らない例をつくることができます．

以上，参考になりましたら．

補足

回答ありがとうございました。

反例がたくさんあるのですね！

頭の中、少しスッキリしました。ありがとうございました！

回答No.2

trytobe

一番簡単な例は、1<x<4 かつ 2<x<3 みたいな「範囲の幅が違う」ときに、足し引きとかすると、(1+2)<(x+x)<(4+3) って正しいのだけど、「範囲が広がりすぎ」で元の範囲に収まる保証がなくなるのです。つまり、逆がなりたたなくなるのです。（x=1.6 もOKになっちゃってる）

回答No.1

noname#223095

ちゃんとした理由はありますが，失礼ながら，それを説明しても理解してもらえないかもしれないですね．一応，説明を試みてみますが・・・．

連立方程式が加減法で解けるという根拠には，等式の場合はそもそも次の同値関係が成立するからです．

k，lをいずれも0でない値とするとき，

　　　　a=b・・・(1) かつ c=d・・・(2)

が成り立てば，

　　　　ka+lc=kb+ld・・・(3)かつka‐lc=kb‐ld・・・(4)

が成り立つことが納得されると思うのですが，実はこの逆，即ち，(3)と(4)が共に成り立てば，(1)と(2)が共に成り立つことも示すことができます．これが，連立方程式が加減法で解くことのできる根拠です．もし，興味があれば，(1)，(2)を仮定して(3)，(4)を導き，同様に，(3)，(4)を仮定して(1)，(2)を導いてみて下さい．どうしても，分からないときはおっしゃって下さい．

一方，不等式になるとこのような話は通用しなくなります．すなわち，

k，lをいずれも0でない値とするとき，

　　　　　a<b・・・(1)’かつc<d・・・(2)’

が成り立てば，

　　　　ka+lc<kb+ld・・・(3)’かつka‐lc<kb‐ld・・・(4)’

成り立つかと言えば，必ずしも成り立たなくなります．逆も同様です．(3)’，(4)’が成り立つからと言って，(1)’，(2)’が成り立つとは限りません．もし興味があれば，成り立たない例(反例)を上げてみて下さい．そして，このことが，等式と不等式の決定的違いであり，連立不等式を加減法で解くことができない根拠になっています．

以上の話は，ちょっと難しいかも知れませんね・・・．

お礼

回答ありがとうございます。
そういえばこんな証明したことある…うっすらと記憶がよみがえってきました。

不等式の場合はマイナスを掛けた時に不等号の向きが逆になるからでしたか？