直交行列の証明問題を教えて下さい

質問

この証明法が分かりません。
問題：Aをn×nの行列とする。
det(A)=1かつnが奇数の時、Aが固有値1を持つのを示しなさい。
という問題です。
困っています・・。分かる方、よろしくお願いいたします。

回答No.1

jcpmutura

「
問題:Aをn×nの直交行列とする。
det(A)=1かつnが奇数の時,Aが固有値1を持つのを示しなさい。
」
とする
det(A)=|A|と略記する
Aの転置行列をtAとする
|A-λE|=0
となるときAが固有値λを持つというのだから
Aが固有値1を持つのを示すためには
|A-E|=0
を示せばよい

|A|=|tA|=1
だから
Aが直交行列ならば
A(tA)=(tA)A=E
だから
|A-E|
=|A-E||A|
=|A-E||tA|
=|A(tA)-tA|
=|E-tA|
=|E-A|
=|-(A-E)|
={(-1)^n}|A-E|
↓nが奇数で{(-1)^n}=-1だから
|A-E|={(-1)^n}|A-E|=-|A-E|
↓
|A-E|=0
∴
Aが固有値1を持つ

A=
(2,0,0.0)
(0,2,0.0)
(0,0,1/4)
とすると
det(A)=2*2*1/4=1
n=3
だけれども
Aの固有値は
2
2
1/4
だから
Aは固有値1を持たない
A{t(A)}=t(A)A=
(4,0,0.00)
(0,4,0.00)
(0,0,1/16)
≠E
だから
Aは直交行列でない
このようにAが直交行列でなければ
問題は成立しない