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複素数…アドバイス下さい。
(1)|α|＝１、|β|≠１のとき |α－β|/|１－αβ~|＝１ を示したい。(「~」はバーを表す) 解) |α|＝|α~|＝１ なので |(α－β)/(１－αβ~)| ＝|α~||(α－β)/(１－αβ~)| …□ ＝|(αα~－α~)/(β１－αβ~)| …■ ＝|(１－α~β)/(１－αβ~)| ＝１ 解の3行目から4行目(□～■)がなぜこのように変形できるのかがよく分かりません。 また最後の行から１になるのもハテナです。 (2)|z－２|＝２|z－２ⅰ| この式で与えられるzの軌跡を求めたい。 式から1：2に内分・外分する点の集まりのような気がするのですが、具体的にどのような図・式になるのかが想像できません。 説明が分かりにくいかもしれませんが、 どなたかアドバイスをお願いします。
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3|z|^2+(2+8i)z+(2-8i)z~+12=0 この式から出発します．ここまでは一致しているのではないでしょうか． ３で割って |z|^2+{(2+8i)/3}z+{(2-8i)/3}z~+4=0 β＝(2-8i)／3 と置くと |z|^2＋β~z＋βz~+4=0・・・（＊） (z＋β)(z~＋β~)＝ββ~－4＝(4+64)/9－4＝32/9 |z＋β|^2＝32/9 |z＋β|＝(4√2)/3 よって中心は－β＝(-2+8i)／3, 半径(4√2)/3 です． アドバイスとしては，（＊）式でz~の係数をβ(あるいは筆者なら実は－αとでもおきたいところ)と置くと，中心が－β（－αと置けばちょうどα）になるだけでなく，理論的に重要なのは，（＊）の形に書けば「自己共役」（両辺の複素共役を考えても自分と同じ式になる）が明白になるということで，（単純なミスのチェックというのみでなく）そういう視点でも見るようにすると良いと思います．
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- Mell-Lily
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間違っているというより、誤植ですね。 |(αα'－α'β)/(1－αβ')| とするべきところが、何かの手違いで、 |(αα'－α')/(β1－αβ')| になってしまったのでしょう。
- oshiete_goo
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＃１です． 2点２，２iを結ぶ線分を２：１に内分する点は(2＋4i)/3 で，外分する点は－2＋4i です． この２点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）は 中心(－2+8i)／3, 半径(４√2)／3 の円です． (z－２)(z~－２)＝４(z－２ⅰ)(z~＋２ⅰ) 以下の計算でもeatern27さんと同じ結果になりました．
お礼
回答ありがとうございます。 内分する点を(2＋4i)/3 外分する点を－2＋4i にした場合、その中心は ｘ：(2/3－2)÷2＝－2/3 ｙ：(4/3＋4)÷2＝8/3 となり確かに中心(－2+8i)／3, 半径(４√2)／3 のになりました。 しかし私の計算だと(下のお礼にもあるように) (z+α)(z~+α~)=(z+α){(z+α)~}=|z+α|^2=32/9 |z+α|=4√2/3 となり －(2/3+8i/3)を中心として半径4√2/3 になってしまいます。 何度確認しても、変になってしまいます。
- eatern27
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#3です。 ＞ただ、私の問題集には質問の解)のように載っていました。問題集の解は間違っているのでしょうか？ はい。 例えば、α=-1、β=2iの時、 ■の分母＝2i-(-1)(-2i)=0 となり、計算不能ですが、□はそんな事はありません。 (2) 外分点は(-2+4i)です。中心は(-2/3+8i/3)半径は4√2/3の円になります。 (z-2)(z~-2)=4(z-2i)(z~+2i) zz~-2z-2z~+4=4zz~+8zi-8z~i+16 3zz~+(2+8i)z+(2-8i)z~+12=0 ここで、α=(2+8i)/3とすると、 zz~+αz+α~z~+68/9=32/9 zz~+αz+α~z~+αα~=32/9 (αα~=68/9) (z-α)(z~-α~)=(z-α){(z-α)~}=|z-α|^2=32/9 |z-α|=4√2/3 ∴|z-(2+8i)/3|=4√2/3 したがって、求める軌跡は点(2/3+8i/3)を中心として半径4√2の円となります。
お礼
何度も回答ありがとうございます。 (2)をeatern27さんの解を参考に計算してみたところ、 (z-α)(z~-α~)=(z-α){(z-α)~}=|z-α|^2=32/9 |z-α|=4√2/3 ではなく、 (z+α)(z~+α~)=(z+α){(z+α)~}=|z+α|^2=32/9 |z+α|=4√2/3 のようになったのですが、 しかしこのようにすると －(2/3+8i/3)を中心として半径4√2/3 になり eatern27さんの答えとも、oshiete_goo さんの答えとも異なってしまいます。 どこか計算がおかしいのでしょうか…。 何度もすみません。
- eatern27
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＞解の3行目から4行目(□～■)がなぜこのように変形できるのかがよく分かりません その前に、ω,zを複素数とする時に |ωz|=|ω||z|…（1）、|ω/z||ω|/|z| が成り立ちます。（この事はω=x+yi,z=a+biなどとおけば証明できます。） では、本題に戻ります。 （1）から□は |α~(α－β)/(１－αβ~)|と変形できます。α~(α－β)＝α~α-α~β なので、さらに変形すると ＝|(αα~－α~β)/(１－αβ~)|＝■ となります。したがって、 |α~||(α－β)/(１－αβ~)|＝|(αα~－α~β)/(１－αβ~)| と変形できます。 ＞最後の行から１になるのもハテナです。 |(１－α~β)/(１－αβ~)|＝|１－α~β|/|１－αβ~| ＝|(1－αβ~)~|/|１－αβ~| ここで、|ω~|＝|ω|ですので、(ω＝x＋yiとおけば証明可) |(1－αβ~)~|/|１－αβ~|＝1となります。 したがって、|(１－α~β)/(１－αβ~)|＝1となります。 (2)は#1さんの通りです。 (z－２)(z~－２)＝４(z－２ⅰ)(z~＋２ⅰ) の後,整理して、(z-α)(z~-α~)＝r^2 の形にして,|z-α|＝ｒ とすればＯＫです。 おそらくα＝(-2+8i)/3,r=(2/3)√3となります。
- Mell-Lily
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(1) |α－β|/|1－αβ'| =|α'||α－β|/|1－αβ'| (∵|α'|=1) =|α'(α-β)|/|1－αβ'| =|1-α'β|/|1－αβ'| (∵ α'α=|α|^2=1) =1 最後の段階 |1-α'β|/|1－αβ'|=1 は、複素平面に作図すれば理解できると思います。
お礼
回答ありがとうございます。 分かりやすい変形で理解できました。 ただ、#1の方のお礼にも書いたのですが、 上の解)は間違っているのでしょうか？ 良かったら補足をお願いします。
補足
分かりました。 ＝|(αα~－α~)/(β１－αβ~)| …■ の部分は多分 ＝|(αα~－α~β)/(１－αβ~)| βの位置が微妙に違うんですね…。 問題集の解が間違っていると思われます。
- oshiete_goo
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（１） |(α－β)/(１－αβ~)| ＝|α~||(α－β)/(１－αβ~)| …□ （|α~|=1を掛けた) ＝|(αα~－α~β)/(１－αβ~)| …■ （|α~||α－β|＝|α~(α－β)|＝|αα~－α~β|） ＝|(１－α~β)/(１－αβ~)| （αα~＝１^2＝１） ＝１ （２） 2点２，２iを結ぶ線分を２：１に内分する点（何？）と 外分する点（何？）を直径の両端とする円（アポロニウスの円）を描く でもよいでしょうし，直接計算するなら 両辺の２乗をして |z－２|＝２|z－２ⅰ| |z－２|^2＝(２|z－２ⅰ|)^2 (z－２)(z~－２)＝４(z－２ⅰ)(z~＋２ⅰ) を整理すればよいでしょう．
お礼
回答ありがとうございます。 (1)は＃２さんと同じ回答ですが、理解できました。 ただ、私の問題集には質問の解)のように載っていました。問題集の解は間違っているのでしょうか？ もし良かったら、補足をお願いします。 (2)２：１に内分する点(2/3，4/3)、外分する点(－1，3)を両端とする円になりました。 (z－２)(z~－２)＝４(z－２ⅰ)(z~＋２ⅰ) ｚｚ~－２ｚ－２ｚ~＋４＝４ｚｚ~＋８ｚⅰ－８ｚ~ⅰ＋１６ ３ｚｚ~＋８(ｚ－ｚ~)ⅰ＋２(ｚ＋ｚ~)＋１２＝０ ３|ｚ|^2＋８(ｚ－ｚ~)ⅰ＋２(ｚ＋ｚ~)＋１２＝０ ？？？ 上の解から(－1/6，13/6)を中心とする半径5√2/6の円？ …すみません、補足お願いします…。
お礼
回答ありがとうございます。 ミスを発見しました…； アドバイスありがとうございました。 また、ｚ＝ｘ＋ⅰｙ とおいて |z－２|^2＝(２|z－２ⅰ|)^2 に代入し計算しても円の式が出ることに気付きました。 色々な方法があるようです。 ここで回答を締め切らせていただきます。 皆さん分かりやすい解説・アドバイスありがとうございました。