複素数…アドバイス下さい。

質問

(1)|α|＝１、|β|≠１のとき
|α－β|/|１－αβ~|＝１　　
を示したい。(「~」はバーを表す)

解)　|α|＝|α~|＝１　なので
|(α－β)/(１－αβ~)|
＝|α~||(α－β)/(１－αβ~)|　…□
＝|(αα~－α~)/(β１－αβ~)|　…■
＝|(１－α~β)/(１－αβ~)|
＝１

解の3行目から4行目(□～■)がなぜこのように変形できるのかがよく分かりません。
また最後の行から１になるのもハテナです。

(2)|z－２|＝２|z－２ⅰ|
この式で与えられるzの軌跡を求めたい。

式から1：2に内分・外分する点の集まりのような気がするのですが、具体的にどのような図・式になるのかが想像できません。

説明が分かりにくいかもしれませんが、
どなたかアドバイスをお願いします。

回答No.7

oshiete_goo · ベストアンサー

3|z|^2+(2+8i)z+(2-8i)z~+12=0
この式から出発します．ここまでは一致しているのではないでしょうか．

３で割って
|z|^2+{(2+8i)/3}z+{(2-8i)/3}z~+4=0
β＝(2-8i)／3　と置くと
|z|^2＋β~z＋βz~+4=0・・・（＊）
(z＋β)(z~＋β~)＝ββ~－4＝(4+64)/9－4＝32/9
|z＋β|^2＝32/9
|z＋β|＝(4√2)/3
よって中心は－β＝(-2+8i)／3, 半径(4√2)/3　です．

アドバイスとしては，（＊）式でz~の係数をβ(あるいは筆者なら実は－αとでもおきたいところ)と置くと，中心が－β（－αと置けばちょうどα）になるだけでなく，理論的に重要なのは，（＊）の形に書けば「自己共役」（両辺の複素共役を考えても自分と同じ式になる）が明白になるということで，（単純なミスのチェックというのみでなく）そういう視点でも見るようにすると良いと思います．

お礼

回答ありがとうございます。

ミスを発見しました…；
アドバイスありがとうございました。

また、ｚ＝ｘ＋ⅰｙ　とおいて
|z－２|^2＝(２|z－２ⅰ|)^2 　に代入し計算しても円の式が出ることに気付きました。

色々な方法があるようです。

ここで回答を締め切らせていただきます。
皆さん分かりやすい解説・アドバイスありがとうございました。

回答No.6

Mell-Lily

間違っているというより、誤植ですね。
　|(αα'－α'β)/(1－αβ')|
とするべきところが、何かの手違いで、
　|(αα'－α')/(β1－αβ')|
になってしまったのでしょう。

回答No.5

oshiete_goo

＃１です．
2点２，２iを結ぶ線分を２：１に内分する点は(2＋4i)/3
で，外分する点は－2＋4i　です．
この２点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）は
中心(－2+8i)／3,　半径(４√2)／3　の円です．

(z－２)(z~－２)＝４(z－２ⅰ)(z~＋２ⅰ)
以下の計算でもeatern27さんと同じ結果になりました．

お礼

回答ありがとうございます。

内分する点を(2＋4i)/3
外分する点を－2＋4i　
にした場合、その中心は

ｘ：(2/3－2)÷2＝－2/3
ｙ：(4/3＋4)÷2＝8/3

となり確かに中心(－2+8i)／3,　半径(４√2)／3　のになりました。

しかし私の計算だと(下のお礼にもあるように)
(z+α)(z~+α~)=(z+α){(z+α)~}=|z+α|^2=32/9
|z+α|=4√2/3 となり
－(2/3+8i/3)を中心として半径4√2/3
になってしまいます。
何度確認しても、変になってしまいます。

回答No.4

eatern27

#3です。
＞ただ、私の問題集には質問の解)のように載っていました。問題集の解は間違っているのでしょうか？
はい。
例えば、α=-1、β=2iの時、
■の分母＝2i-(-1)(-2i)=0
となり、計算不能ですが、□はそんな事はありません。

(2)
外分点は(-2+4i)です。中心は(-2/3+8i/3)半径は4√2/3の円になります。
(z-2)(z~-2)=4(z-2i)(z~+2i)
zz~-2z-2z~+4=4zz~+8zi-8z~i+16
3zz~+(2+8i)z+(2-8i)z~+12=0

ここで、α=(2+8i)/3とすると、
zz~+αz+α~z~+68/9=32/9
zz~+αz+α~z~+αα~=32/9 (αα~=68/9)
(z-α)(z~-α~)=(z-α){(z-α)~}=|z-α|^2=32/9
|z-α|=4√2/3

∴|z-(2+8i)/3|=4√2/3
したがって、求める軌跡は点(2/3+8i/3)を中心として半径4√2の円となります。

お礼

何度も回答ありがとうございます。

(2)をeatern27さんの解を参考に計算してみたところ、
(z-α)(z~-α~)=(z-α){(z-α)~}=|z-α|^2=32/9
|z-α|=4√2/3
ではなく、
(z+α)(z~+α~)=(z+α){(z+α)~}=|z+α|^2=32/9
|z+α|=4√2/3
のようになったのですが、
しかしこのようにすると

－(2/3+8i/3)を中心として半径4√2/3
になり eatern27さんの答えとも、oshiete_goo さんの答えとも異なってしまいます。

どこか計算がおかしいのでしょうか…。
何度もすみません。

回答No.3

eatern27

＞解の3行目から4行目(□～■)がなぜこのように変形できるのかがよく分かりません
その前に、ω,zを複素数とする時に
|ωz|=|ω||z|…（1）、|ω/z||ω|/|z|
が成り立ちます。（この事はω=x+yi,z=a+biなどとおけば証明できます。）
では、本題に戻ります。
（1）から□は
|α~(α－β)/(１－αβ~)|と変形できます。α~(α－β)＝α~α-α~β なので、さらに変形すると
＝|(αα~－α~β)/(１－αβ~)|＝■
となります。したがって、
|α~||(α－β)/(１－αβ~)|＝|(αα~－α~β)/(１－αβ~)|
と変形できます。

＞最後の行から１になるのもハテナです。
|(１－α~β)/(１－αβ~)|＝|１－α~β|/|１－αβ~|
＝|(1－αβ~)~|/|１－αβ~|
ここで、|ω~|＝|ω|ですので、(ω＝x＋yiとおけば証明可)
|(1－αβ~)~|/|１－αβ~|＝1となります。
したがって、|(１－α~β)/(１－αβ~)|＝1となります。

(2)は#1さんの通りです。
(z－２)(z~－２)＝４(z－２ⅰ)(z~＋２ⅰ)
の後,整理して、(z-α)(z~-α~)＝r^2
の形にして,|z-α|＝ｒ
とすればＯＫです。
おそらくα＝(-2+8i)/3,r=(2/3)√3となります。

回答No.2

Mell-Lily

(1)
　|α－β|/|1－αβ'|
　=|α'||α－β|/|1－αβ'| (∵|α'|=1)
　=|α'(α-β)|/|1－αβ'|
　=|1-α'β|/|1－αβ'| (∵ α'α=|α|^2=1)
　=1

最後の段階
　|1-α'β|/|1－αβ'|=1
は、複素平面に作図すれば理解できると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

分かりやすい変形で理解できました。
ただ、#1の方のお礼にも書いたのですが、
上の解)は間違っているのでしょうか？
良かったら補足をお願いします。

補足

分かりました。

＝|(αα~－α~)/(β１－αβ~)|　…■
の部分は多分
＝|(αα~－α~β)/(１－αβ~)|　

βの位置が微妙に違うんですね…。
問題集の解が間違っていると思われます。

回答No.1

oshiete_goo

（１）
|(α－β)/(１－αβ~)|
＝|α~||(α－β)/(１－αβ~)|　…□ （|α~|=1を掛けた)
＝|(αα~－α~β)/(１－αβ~)|　…■ （|α~||α－β|＝|α~(α－β)|＝|αα~－α~β|）
＝|(１－α~β)/(１－αβ~)|　　（αα~＝１^2＝１）
＝１

（２）
2点２，２iを結ぶ線分を２：１に内分する点（何？）と
外分する点（何？）を直径の両端とする円（アポロニウスの円）を描く
でもよいでしょうし，直接計算するなら
両辺の２乗をして
|z－２|＝２|z－２ⅰ|
|z－２|^2＝(２|z－２ⅰ|)^2
(z－２)(z~－２)＝４(z－２ⅰ)(z~＋２ⅰ)
を整理すればよいでしょう．

お礼

回答ありがとうございます。

(1)は＃２さんと同じ回答ですが、理解できました。
ただ、私の問題集には質問の解)のように載っていました。問題集の解は間違っているのでしょうか？
もし良かったら、補足をお願いします。

(2)２：１に内分する点(2/3，4/3)、外分する点(－1，3)を両端とする円になりました。
(z－２)(z~－２)＝４(z－２ⅰ)(z~＋２ⅰ)
ｚｚ~－２ｚ－２ｚ~＋４＝４ｚｚ~＋８ｚⅰ－８ｚ~ⅰ＋１６
３ｚｚ~＋８(ｚ－ｚ~)ⅰ＋２(ｚ＋ｚ~)＋１２＝０
３|ｚ|^2＋８(ｚ－ｚ~)ⅰ＋２(ｚ＋ｚ~)＋１２＝０
？？？
上の解から(－1/6，13/6)を中心とする半径5√2/6の円？
…すみません、補足お願いします…。