高二数学 三角形への応用問題

質問

三角形ABCで、AB=3,BC=6,CA=5である。角Aの二等分線とBCの交点をDとするとき、次の問いに答えよ。

（１）cosBを求めよ。
（２）BDの長さ
（３）ADの長さ

（１）はなんとか5/9と出たのですが、多分間違えてると思います。

回答よろしくお願いします。
途中式も書いていただくとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

akinomyoga

(1) 5/9 で OK です。余弦定理で直接 cos B を求めます。
　cos B = (BA^2 + BC^2 - AC^2)/(2BA・BC) = 5/9■.

(2) これは角の二等分線の公式
　AB:AC = BD:CD　…(i)
を使えば D が BC を AB:AC = 3:5 に内分する点と分かるので
　BD = BC×(AB/(AB+AC)) = 9/4■.

※(i)は例えば正弦定理を使えば AB:BD = sin∠BDA:sin∠BAD = sin∠CDA:sin∠CAD = CA:CD として示せます。

(3) △ABDについて余弦定理を使って、
　AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 AB・BD cos B = 105/16,
　AD = √(105)/4■.

※実はこれも角の二等分線の公式があって
　AD^2 = AB・AC - BD・DC = AB・AC - BD・(BC-BD) = 105/16
として求めることもできます。

角の二等分線の公式については下記参考URLを御覧下さい。
参考: http://mathtrain.jp/nitobun

回答No.1

itaitatk

（1）正弦定理によりsinBを求める。それを余弦に変換ってすればでていきますよ

補足

正弦定理でsinBを求める方法を教えてください。