三角形ABCにおいて（数学A）

質問

三角形ABCがBC=6 CA=5 AB=7である
角Aの二等分線が対辺BCと交わる点をD、BからCAに引いた中線をBEとしADとBEの交点をOとする

(1)OE/OBを求めよ

(2)三角形ABCの面積をSとするとき三角形OBDの面積を求めよ

分からないので教えてください、答えは
(1)5/14
(2)35/128S
です、よろしくおねがいします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
メネラウスの定理
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/meneraus/meneraus.htm
と角の2等分線の定理
http://yosshy.sansu.org/theorem/kaku2tobun.htm
と使う。

△ABCにおいて
ADが∠Aの2等分線なので、角の2等分線定理より
　BD/DC=AB/AC=7/5…(A)
BEが中線なので
　CA/AE=2:1　…(B)

△BCEに直線AODが交わっているのでこれにメネラウスの定理を適用して
　(OE/OB)(BD/DC)(CA/AE)=1

(A),(B)を代入して
　(OE/OB)(7/5)(2/1)=1
　∴OE/OB=5/14　…(C)

(2)補助線OCを引く。
高さの等しい三角形の面積の比は底辺の長さの比に等しいという性質を使うと良い。

△OBD=△OBC・(BD/BC)=△OBC・(BD/(BD+DC))=△OBC・(1/(1+DC/BD))
=△OBC・(1/(1+5/7)) (∵(A)より)
=△OBC・(7/12)　…(D)
また
△OBC=△BEC・(OB/BE)=△BEC・(OB/(OB+OE))=△BEC・(1/(1+OE/OB))
=△BEC・(1/(1+5/14)) (∵(C)より)
=△BEC・(14/19) …(E)
また
△BEC=△BEA=△ABC/2 （∵CE=EA）
　=S/2 …(F)

（F)を(E)に代入
△OBC=(S/2)・(14/19)=(7/19)S

これを(D)に代入
△OBD=(7/19)S・(7/12)=(49/228)S

お書きの答え(35/128)Sと一致しません。
答えが間違っていないか、確認をして下さい。

お礼

(2)の答は49/228でした、すみません
丁寧に解説していただきありがとうございました

回答No.2

nag0720

(1)
OE/OB=AE/AB=2.5/7=5/14