斜方投射 tanθの値

質問

物理でわからない問題があります。

ボールを斜方投射したとき、
水平到達距離 L、最高点の高さ H、初速度の仰角θ とすると、
tanθ=2H/(L/2)

という表記を見たのですが、納得できません。
私は、2H/Lだと思いました。

私の答えがなぜ違うのか教えてください。

回答No.2

Tann3 · ベストアンサー

No.1です。「補足」に書かれたことについて。

＞ボールを投げ出す点をO、
＞最高点をP、
＞Pから床に垂直に降ろした点をQとします。
＞直角三角形OPQを考えました。
＞だから、tanθ=H/OQだと思いました。

　tanθで考えるなら、OQを底辺とする直角三角形の高さに相当するのは「PQ」ではありません。
　「P」はあくまで「放物線」の最高点であって、原点から角度θで伸ばした直線、つまり初速度の方向に伸ばした直線上にはありません。

　初速度の方向に伸ばした直線上の、直線PQの延長と交わる点をRとすると、

　　　tanθ = QR/OQ

です、そして、計算は省略しますが、QR=2H になります。

　質問者さんは、「初速度の方向に伸ばした直線」上に、放物線の最高点Hがあると錯覚しているので、納得できないのではありませんか？　変な思い込みを捨てて、ちゃんと図に書いてみましょう。

お礼

ありがとうございます。
なるほど、最高点の高さが直角三角形の高さにはならないのですね。
思い込んでいました。すみません。

とてもわかりやすかったです。

回答No.1

Tann3

確認してみましょう。

　物体の質量をm、初速度の大きさをV0、仰角をθ 、水平座標をx、鉛直座標をy（上を正）とすると、

　　　Vx0 = V0*cosθ
　　　Vy0 = V0*sinθ

　水平方向には力がかからないので等速度運動、鉛直方向には下向き（負の方向）に -m*g の重力がかかるので、加速度「-g」の等速度運動です。従って t 秒後の速度は

　　　Vx(t) = V0*cosθ
　　　Vy(t) = V0*sinθ - g*t

　 t 秒後の位置は、t=0のときを原点として、

　　　x(t) = (V0*cosθ) * t
　　　y(t) = (V0*sinθ) * t - (1/2)g*t^2

　水平到達点では y(t) = 0 で、t=0 以外のtなので、

　　　 V0*sinθ - (1/2)g*t = 0

より、水平到達点に達する時刻は

　　　t = V0*sinθ/(1/2)g = (2*V0*sinθ)/g

この t ときの x が「L」なので、x(t)の式に代入して

　　　L = (V0*cosθ)*(2*V0*sinθ)/g = (2*V0^2*sinθ*cosθ)/g　　（１）

　最高点は　Vy(t) = 0　なので、

　　　V0*sinθ - g*t = 0

より、最高点に到達する時刻は

　　　t =(V0*sinθ) / g

この t ときの y が「H」なので、

　　　H = (V0*sinθ)*(V0*sinθ)/g - (1/2)*g*[(V0*sinθ)/g]^2
　　　　= V0^2 * sin^2(θ) / g - (1/2)*V0^2*sin^2(θ) / g
　　　　= (1/2)*V0^2*sin^2(θ) / g　　　　　　　　　　　　（２）

（１）と（２）より、

　　　H/L = [(1/2)*V0^2*sin^2(θ) / g] / [2* V0^2*sinθ*cosθ / g]
　　　　　= (1/2)*sinθ / 2*cosθ
　　　　　= (1/4)*tanθ

従って、

　　　tanθ = 4*H/L

です。

　質問者さんが、「納得できません。私は、2H/Lだと思いました。」と考えた根拠を示してください。

補足

回答ありがとうございます。
すみません。言葉足らずでした。
そのように説明していただいたらわかるのですが、私の考え方も言いますね。

ボールを投げ出す点をO、
最高点をP、
Pから床に垂直に降ろした点をQとします。
tanθとは、辺の比ですよね。
直角三角形OPQを考えました。
だから、tanθ=H/OQだと思いました。
OQは、L/2となると思ったので、
私は2H/Lだと思いました。
申し訳ありませんが、再度お願いします。