きれいな形の多変数の積分計算。対称的な形のため、簡略化できそう？

質問

ご覧いただきありがとうございます。もう数日間、この積分計算で行き詰まっており、解答へのヒントを見つけられずに困っております。まずは式を示し、その後に背景を説明します。

いま与えられている被積分関数は以下の形をとっています。

{cos(x)cos(y)cos(a)cos(b)}^2
_________________________________
{(x-y)^2 + (a-b)^2}^(1/2)

この関数をx,y,a,bでの4重積分を行いたいのです。積分範囲は全て-Pi/2 から+Pi/2です。結果はコンピュータ上で計算するため、解析的に解けなくてもいいです。
単純にこれをMapleなどの解析ソフトに入力すると、分母が0になる特異点が存在するため発散との結果を出してしまいます。しかし式変形するとわかるように、この積分は発散しません。
※a=b、y=0とするとxのみの関数になりますがこれは奇関数の形をとるため積分結果はゼロになります。

こんなきれいな形をしているのに、一筋縄じゃいかないところが悩ましいです。

さて、この問題の背景ですが、２次元の有限空間に閉じ込められた電子とホール間のクーロンポテンシャルを計算するところからやってきています。いま、２つの粒子は定常状態を取っていると仮定しています。

どうか、指針などで結構なので何か思いついた方、よろしくお願いします。

回答No.7

atomicmolecule · ベストアンサー

私の解説が大雑把なところだけしか説明していないために困っているようですが、それというのもspecialさんの質問は卒業論文かなにかのだと思えているので、あまり解答を書きたくないのです。解答を与えてしまうと考える意味がないですからね。それは自分で発見する喜びを奪うことになるかもしれませんから。

前回の問題、ベクトル記号をつかった積分の表記とかが分ってないようで誤解されているようですが、そういうことは今の問題の本質じゃないのでこれ以上突っ込むのはやめにします。

もう少し簡単な

∫_{0,1}dx∫_{0,1}dy 1/√(x^2+y^2)

を考えてみてください。これは発散しますか？発散しないならどうやって計算しますか。これがspecialさんの困難の本質部分を残したかなり簡単化された問題です。

お礼

途中から音信普通になってしまい、申し訳ありませんでした。atomicmoleculeさんの仰るとおり、これは卒業論文のなかの計算の一つでした。先生に聞いても、大まかなヒントのみしかいただけなく行き詰まり、今回OKWaveで投稿したというしだいであります。

現在までatomicmoleculeさんのベクトル表記の方法を取りながら、どう変形できるか考えていますがあと一歩といったところです。あと二週間と少しで締め切りなので、どうなるか本当に心配ですが頑張るしかありません。

ここで議論を少しでも展開することができて光栄ですし、また沢山学べました。どうもありがとうございました。

回答No.6

noocyte

> f=∫dθ d|r| |r| * 1/|r| = ∫dθ ∫d|r|
> となって積分できそうですね。

∫(1/r)dS って収束するんですね！ 驚きました．
にわかには信じられなかったので，間違い探しをしようとしてしまいました．(笑)
直観で発散すると，証明もせずに信じてました．(反省)

ところで，被積分関数の分母 {cos(x)cos(y)cos(a)cos(b)}^2 は，
確率密度 |ψ|^2 だろうと推測しているのですが，もしそうであれば，
これは単純な２次元の (クーロンポテンシャルのない) 井戸型ポテンシャルじゃないんでしょうか？
そもそも電子とホールの平均クーロンポテンシャルを計算しようとしているのに，それでいいんでしょうか？

補足

その通りでございます、関数の分子（↑タイプミスですよね）は確率密度であり、式全体は平均のクーロンポテンシャル(ＣＰと略)をあらわすものです。

この式の正当性を考えるには、問題の背景を考える必要があります。

まず、電子とホール間のＣＰは本来、ベクトルrに依存します。しかし系の構造、つまりリングの半径が充分に大きいことをふまえると、ＣＰが断面内の距離の依存性は無視できると近似し２粒子間の角度θのみに依存できると考えれます。
ＣＰをθのみの関数であらわそうとすると、
-e^2 / |2Rsin(θ_e - θ_h)|になってしまいます。そうすると、角度差=0radのところでＣＰが発散してしまうため、分母に何か項を足す必要があります。そこで導入するのが今回のＣＰなのです。
上に書いたとおり、断面内でのＣＰは電子とホールに影響を与えないため、断面内で電子とホールが定常状態を保っていると仮定できます。

正直僕もちょっと不安なんで、つっこみ大歓迎です。

回答No.5

atomicmolecule

私の意図がうまく伝わってないようなので再度かきます。

先ず積分が発散しているんならどうしようもありませんが、そこをちゃんと確認してください。この積分は定義されているかどうか、それを調べてください。その際に

（１）被積分関数が発散する場所を先ずしっかりとおさえる。

（２）被積分関数が発散しているところで、積分の測度がゼロになるかもしれないので、そこをちゃんと注意して積分が定義されているかどうか調べること。
（例：∫_{0, 1}log(x)dx はlog(0)=∞　ですが積分はちゃんと定義されています。）

ベクトルを使ったのは本質ではありません。

積分が定義されているんなら、変数変換をして積分しやすい形にしてください。その際に領域をいくつかに分けておく方が便利でしょう。
（例えば-π/2<x<0 , 0<x<Pi/2　のような二つの領域)

問題が難しすぎると思う場合には簡単な例をつくって疑問点を解消してから取り組んだ方がよいとおもいます。その意味で前回の例をつくりました。
頑張ってください。良いお年を

補足

あけましておめでとうございます。

前の記事にすでに補足を書いてしまい、補足を記入できなかったためこちらにレスします。前の積分計算で疑問点がいくつかありました。

ひとまず、僕が疑問を持った箇所を飛ばして、最後まで式を追わせていただきます。

f = ∫dx dy da db 1/{(x-y)^2 + (a-b)^2}^(1/2)

***次の式変形にどうしても行き着けないので、いくつか質問をさせていただきたいです。
まず前の式ではfの次元は、xyabが全て長さLの次元を持っていることを踏まえるとL^3ですよね。
しかし、次の式ではL^1となってしまいますが、これはいいのでしょうか。
dr1=(dx, da)ですよね。そうすると、dr1・dr2=dxdy+dadbになると思います。

f= ∫dr1 dr2 1/|r1-r2|

r1=(x,a)
r2=(y,b)

f=∫dr dr2 1/|r|

r1-r2=r , dr=dθ d|r|*|r|

***この上の変数変換にも疑問を覚えます。最初あったベクトル変数r, r2（変数要素4つ)が、次の式ではスカラー変数θと|r|の2つのみになっていますが、どうして成り立つのかがわかりません・・・。

f=∫dθ d|r| |r| * 1/|r| = ∫dθ ∫d|r|

何か僕の知らない積分計算などが含まれていたようなら、キーワードだけでも書いていただければ助かります。

回答No.4

atomicmolecule

問題の本質はx=y, a=bの時の発散ですよね。問題を簡単化して次のような問題を先ず考えてみたらどうでしょうか？

f = ∫dx dy da db 1/{(x-y)^2 + (a-b)^2}^(1/2)

積分領域はx=y, a=bを含むところだけが本質でしょうから全て0～１に制限しておきます。

ところでこの積分ベクトル記号を使ってて書くと

f= ∫dr1 dr2 1/|r1-r2|

r1=(x,a)
r2=(y,b)　となる２次元ベクトル。

この式更にベクトルの変数変換をすると

f=∫dr dr2 1/|r|

r1-r2=r , dr=dθ d|r|*|r| と極座標でかくと

f=∫dθ d|r| |r| * 1/|r| = ∫dθ ∫d|r|

となって積分できそうですね。

まとめるとx=y , a=b　となる点からの寄与は積分測度がゼロになるために発散がおさえられるのではないかということですが。積分が測度によって巧く定義されているなら変数変換をして測度を取り出してやると数値計算もできるはずです。がんばってください。

f=0.7433

補足

年の瀬にありがとうございます。

ベクトルを使うと簡単になるんですねぇ。この方法で少し試させていただきます。2-3日のうちに再びレスできると思います。

しかし不安なのは元の式中のcos内の値をベクトルにした後でどうするか、という問題です。

回答No.3

noocyte

量子力学や半導体物理(？)にはあまり詳しくないので，
そのへんの考察はひとまずおいときます．

> いま、このリングを１次元の細線とみなして計算したいため、
> クーロンポテンシャルをθのみの関数にしようとしています。

リングの断面に関する平均を計算するのに，円筒座標を使っておきながら．
直交座標と同じように計算しているように思えます．

ある関数 f(ρ, θ, ｚ) の空間平均を円筒座標で求める場合，
その微小体積は ｄＶ＝ρ・ｄρ・ｄθ・ｄｚなので，
リングの体積をＶとすると，f の平均値 f(average) は

f(average) ＝ (1/V) ∫f・dV ＝ (1/V) ∫∫∫ f・ρ・ｄρ・ｄθ・ｄｚ．

一方，f をリングのθ方向の断面内で平均した値を g(θ) とする．
f(average) を g(θ) で表すと，

f(average) ＝ (２π)^(-1) ∫g(θ)ｄθ

∴ g(θ) ＝ (２π/Ｖ) ∫∫ f(ρ, θ, ｚ)・ρ・ｄρ・ｄｚ．

この問題の場合，おそらくｆは２粒子間のクーロンポテンシャルと，
量子力学の確率密度 (|ψ|^2) の積になるのだと思います．
２粒子系なので，たぶんｄＶではなくｄＶ_e・ｄＶ_hで積分するのでしょう．

それから，門外漢の疑問ですが，電子とホールのクーロンポテンシャルは，
(古典電磁気学と同じ) 単なる距離の逆数でいいんでしょうか？
これがある限り，どう頑張っても積分は発散すると思うのですが．
両者の位置が一致した場合，「対消滅」しちゃったりしないんですか？

回答No.2

noocyte

#1 です．

それから，分母の√の中が (x－y)^2＋(a－b)^2 となってるのが
少し気になるので補足します．

もし点 (x, y) と点 (a, b) の距離を求めるのであれば
√((x－a)^2＋(y－b)^2) ですが，その点は大丈夫ですか？

補足

いまパソコンに向かいっきりなので、即レスします。

ご心配ありがとうございます。その点は大丈夫です！文字のおき方が悪かったですね。

うーん、確かに問題提起から考えなおす必要があるのかもしれませんね。
量子力学的な話をもう少しさせていただくと、いま考えている全体の系は量子リング中に閉じ込められた励起子なんです。励起子を構成する電子とホールの円筒座標はρ、z、θで与えられていて、リングの半径がリングの断面より十分大きいと考えています。断面は正方形です。ですから、質問文の中のxyabはρ_e, ρ_h,z_e, z_h,に対応します。

そうですね、形状で似ているのは輪ゴムです。この中に電子とホールが閉じ込められています、外は無限ポテンシャルです。

いま、このリングを１次元の細線とみなして計算したいため、クーロンポテンシャルをθのみの関数にしようとしています。ただし、２粒子が同じ角度にいるときにクーロンポテンシャルが発散してしまうため、今回のような計算が必要になりました。２粒子が定常状態で存在していて、そのときの平均エネルギー。

長くなりましたが、もしお時間がありましたらまたご意見お願いします。

回答No.1

noocyte

> ※a=b、y=0とするとxのみの関数になりますが
> これは奇関数の形をとるため積分結果はゼロになります。

？？？
その場合，分母は x じゃなくて |x| なので偶関数ですが？
その場合に限らず，分母も分子も常に非負です．
だからその積分範囲では発散します．

ポテンシャルの計算式を立てるところから見直す必要があると思います．

補足

ありがとうございます！

あ、、、そうですね、単純に２乗とルートで相殺しちゃうミスをしてしまったようです。指摘いただき本当にありがとうございます。

しまった・・・また行き詰まりそうです。
２粒子が定常状態をとっているときの、両者間に働く平均のクーロンポテンシャルを求めたいのに・・・。