展開

質問

(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3を展開せよ。

という問題なのですが…
どのようにやったらいいのかわかりません。
(x+y+z)^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
の公式を変形させるのかと思ったのですが、どうも計算ができず。。
どなたか分かりやすく教えてください＞＜
よろしくおねがいします!

回答No.7

noname#101087 · ベストアンサー

またまた、タイプミス。

もとの式は、
　　(x+A)^3 - (A-x)^3 - (x+B)^3 + (B-x)^3
-----------------------------
　a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)
を利用すれば、
　(x+A)^3 - (A-x)^3 = 2x(x^2+3A^2)
　(x+B)^3 - (B-x)^3 = 2x(x^2+3B^2)
が得られる。
　A = y+2z
　B = y-2z
とおくと、問題の式は
　　(x+A)^3 - (x-A)^3 - (x+B)^3 + (x-B)^3
　　= 2x(x^2+3A^2) - 2x(x^2+3B^2)
　　= 6x(A^2-B^2)
　　= 6*8xyz
　　= 48xyz
となる。

回答No.8

sanori

＃３です。私も訂正。
最後の１行が間違えていました。

＝４８ｘｙｚ

回答No.6

noname#101087

#2 です。ミスを訂正。

もとの式は、
　　(x+A)^3 - (x-A)^3 - (x+B)^3 +(x-B)^3
の形ですね。まずこれを展開してみたら ?

でも、これって #1 さんのと同じ戦略でしたね。

-----------------------------
　a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)
を利用すれば、
　(x+A)^3 - (x-A)^3 = 2x(x^2+3A^2)
　(x+B)^3 - (x-B)^3 = 2x(x^2+3B^2)
が得らる。
　A = y+2z
　B = y-2z
とおくと、問題の式は
　　(x+A)^3 - (x-A)^3 - (x+B)^3 + (x-B)^3
　　= 2x(x^2+3A^2) - 2x(x^2+3B^2)
　　= 6x(A^2-B^2)
　　= 6*8xyz
　　= 48xyz
となる。

回答No.5

eroki

したの答え間違えでしたすみません

回答No.4

eroki

(1)A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)
(2)A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)を使います(A,Bは定数)

まず第1項と2項に注目し,(1)を使います
A = x+y+2z
B = -x+y+2z
とおき(1)より2x((x+y+2z)^2+(x+y+2z)(-x+y+2z)+(-x+y+2z)^2)(1)'

次に第3項と4項に注目し、(2)を使います
A'= x-y+2z
B'= x+y-2z
とおき(2)より2x((x-y+2z)^2-(x-y+2z)(x+y-2z)+(x+y-2z)^2)(2)'
となります

つぎに (2)'は負ですので(1)'-(2)'を計算します
2x((x+y+2z)^2+(x+y+2z)(-x+y+2z)+(-x+y+2z)^2-(x-y+2z)^2+(x-y+2z)(x+y-2z)-(x+y-2z)^2))
=2x(A^2+(-x^2+y^2+z^4+4yz)+B^2-A'^2+(x^2-y^2-z^4-4yz)-B'^2)
=2x(A^2+B^2-A'^2-B'^2)
=2x((A+A')(A-A')+(B+B')(B-B')
=2x(2y(2x+4z)+2y(-2x+4z))
=4xy(2x+4z-2x+4z)
=16xyz
となります

回答No.3

sanori

A = 2z
B = x+y
C = x-y
と置きますと、

(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3
={(x+y)+2z}^3 - {2z-(x-y)}^3 - {2z+(x-y)}^3 - {(x+y)-2z}^3
= (A+B)^3 - (A-C)^3 - (A+C)^3 - (B-A)^3
= (A+B)^3 - (A-C)^3 - (A+C)^3 + (A-B)^3　　← -(B-A)^3 = +(A-B)^3 より
= (A+B)^3 + (A-B)^3 - (A-C)^3 - (A+C)^3
= (A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3)
　+ (A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3)
　- (A^3 - 3A^2C + 3AC^2 - C^3)
　- (A^3 + 3A^2C + 3AC^2 + C^3)

A^3, 3A^2B, 3A^C, B^3, C^3 の項は消えるので、

= 3AB^2 + 3AB^2 - 3AC^2 - 3AC^2
= 6A(B^2 - C^2)
= 6・2z・{(x+y)^2 - (x-y)^2}
= 12z{(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)}
= 12z・4xy
= 24xyz

回答No.2

noname#101087

>(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3を展開せよ。

ヒントだけ。急がばまわれ、です。

もとの式は、
　　(x+A)^3 + (x-A)^3 - (x+B)^3 -(x-B)^3
の形ですね。
まずこれを展開してみたら ?

回答No.1

info22

式をじっと眺めて方針を立てる。
2項ずつまとめて2組の
(A+B)^3+(A-B)^3=2A{(A+B)^2+(A-B)^2-(A+B)(A-B)}
=2A{2(A^2+B^2)-(A^2-B^2)}
=2A(A^2+3B^2)
の式に持ち込んめば、後は式が簡単に整理しながら展開していけます。

P=(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3
Z=2zとおくと
P=(x+y+Z)^3-(y+Z-x)^3-(Z+x-y)^3-(x+y-Z)^3
=(Z+x+y)^3+(Z-x-y)^3 -{(Z+y-x)^3+(Z+x-y)^3}
=2Z{(Z+x+y)^2+(Z-x-y)^2-(Z+x+y)(Z-x-y)}
-2Z{(Z+x-y)^2+(Z-x+y)^2-(Z+x-y)(Z-x+y)}
=2Z[2{Z^2+(x+y)^2}-Z^2+(x+y)^2]
-2Z[2{Z^2+(x-y)^2}-Z^2+(x-y)^2}
=2Z(8xy+4xy)=24Zxy
=48xyz

何事も方針をじっくり立て、それからその方針に沿って式を変形する。まずやってみることが大切です。やらないで難しいと怖気ついていては、いつまでもできないばかりか、計算間違いをして最終結果にたどり着けませんよ。